Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 449 



Setzt man ietzt in 13 hA = t, so wird, da d A ::= -— ist: 



n 



2 +f _ , i 



-;— /ce *'dt = -r— c! - =1. 

 n _::^ h ' 



14. Demnach c= . -. Dies eingesetzt in 11« gibt als definitiven 



Wert der Gaußschen Fehlerfunktion: 



9(Aj = -fA^.e-'"-^'. 



Das Gesetz der kleinsten Quadrate. 



Aus der Gaußschen Fehlerfunktion folgt ohne SchAvierigkeit die be- 

 rühmte Methode der kleinsten Quadrate. 



Es sei X der wahrscheinlichste Wert einer beobachteten Größe. 

 Die wirklichen Beobachtungen seien a^ : a., : . . .; a^. 



Dann sind x — ai = v^ ; x — a., = v., ; . . . ; x — an = v„ die sogenannten 

 übrig bleibenden Fehler. 



Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers Vj ist gleich ofvj). 



Die Wahrscheinhchkeit für das Zusammentreffen von v^, Vo, . . . \\, 



WrziofVj) . OIV,) . . . 0(VJ. 



Jetzt setzen wir die Gaußsche Fehlerfunktion ein und erhalten: 

 ^^. _ h, ■ h-, . . . hn — ( hl 2 V, -^ + h.. - Vo - + • - • + h^- v^-j 



Es ist nun aber derjenige Wert von x der wahrscheinlichste, für 

 den die AVahrscheinlichkeit des Fehlersystems v^, Vj . . . Vn ein Maximum 

 wird. W wird aber ein Maximum, wenn der Exponent von e ein Minimum 

 Avird, also 



K ' ^\ "^ + h.2- v.,- + . . . -f h,i- Vn- = Minimum. 



Die Bedingung ist also, daß die Summe der mit den Konstanten h- 

 multiplizierten Quadrate der Beobachtungsfehler ein Minimum ist. 



Man ersetzt jetzt noch hi- durch andere Konstanten, indem man 

 statt hi- die Konstante pi setzt, die stets positiv ist. Es wird dann: 



Pi ^\ - + P2 ^2- + . . . -f Pn Vn- = [p V-] = Minimum. 



Durch das Einschließen des Ausdrucks in eckige Klammern drückt 

 man in der Ausgleichungsrechnuug die Summenbildung aus. 



Abderhalden, Handbuch dur hioehoinischen Arboitsniethodiu. IX. 29 



