Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 457 



Es wird 



fpal ^^. , 4X0-2 + 2X 1-1— 5x0-3 ,r,- ^^'ö ,.- , , 

 x = ^^ = 10o + —^^^ = 10o+-=10o-U. 



Der mittlere Fehler des Resultates ist: 



M=±|/-iP4^ = ±/^^=±0-36. 



(n— l)[p] 



[/ 2-825(: 

 f 2.11 



Fehlerberechnung von Funktionen von Beobachtungen. 



Besonders Avichtig wird die Fehlerberechnung, w-enn es sich um Größen 

 handelt, die von einer oder mehreren anderen beobachteten Größen abhängig 

 sind. Dies wird in der Praxis der häutigere Fall sein. Es ist dann nötig, 

 sich ein Bild über die Genauigkeit der Messung zu verschaffen, d. h. über 

 den Einfluß, den jede der beobachteten Größen auf das Ftesultat ausübt. 

 Durch solche Betrachtungen kann man die geeignetsten Bedingungen für 

 die Beobachtungen finden, sowie weiterhin die Gewichte für eventuell nötige 

 Ausgleichungen berechnen. 



Gegeben sei eine Funktion y = f ( x ). Die beobachtete Größe sei x. Die 

 gesuchte y. Wenn jetzt bei der Messung von x ein Fehler Ax gemacht wird, 

 so ergibt sich y + Ay = f (x + Ax). 



Indem man nun f fx + Ax) nach TayJor (vgl. S. 338) nach steigenden 

 Potenzen von Ax entwickelt, erhält man: 



fCx + Axj = f(xj + f(x)Ax+ .... 



Die höheren Potenzen von Ax kann man vernachlässigen, da Ax eine 

 kleine Größe ist. 

 Es wird also 



Ay=z:f(x)Ax und ^ = ^Ax. 



^ • ' y t(xj 



i' Cx) 



Ax nennt man den relativen Fehler. Durch seine Betrach- 



f(x) 

 tung erhält man Aufschluß über die Genauigkeit der angewendeten Methode. 



Beispiel: 



1. Es soll in einer Lösung der Gehalt an Chrom bestimmt werden, 

 einmal durch Fällen mittels NH3 als Gr., O3 ; zweitens durch Fällen mit 

 Blei als PbCrO^. Vorausgesetzt sei, daß nur die Fehler der Wägnng 

 von Einfluß sind. 



Es werde a gr Crg O3 : b gr Pb Cr O4 gefunden. 



