Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 459 



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Also ist-;^— = — — = — 71 . Dieser Ausdruck soll ein Mi- 



n^i ,,. ^ x(i— xj 



1 — X 



nimum werden. 



Man differenziert also nach x und erhält: 

 1 



(x(l — x))_, 2x — 



-1-=^, ^ = 0. 



dx x2(l— x)2 



Dies ist der Fall für 2 x — 1 = o. Oder x = — . 



Der relative Fehler ist also am geringsten, wenn die Ein- 

 stellung ungefähr in der Mitte der Brücke erfolgt. Man wird 

 demnach w so wählen, daß diese Bedingung annähernd erfüllt ist. 



Wenn eine Funktion f von mehr als einer zu beobachtenden Größe 

 abhängig ist, so ergibt sich die Fehlerberechnung auf ähnliche Weise 

 nach der Formel: 



■ A f = f (X + A X, y + A y, z + A z, ... ) — f (x, y, z) = 



9f , af , 9f , 



— A X i A V H Az . . . 



9 X 9 y " 9 z 



Daraus läßt sich der Einfluß eines Fehlers jeder einzelnen der beob- 

 achteten Größen x, y, z . . . auf den Wert der Funktion f bestimmen. 



Ausgleichung von Funktionen von Beobachtungen. 



Die Ausgleichung auch komplizierter Beobachtungen geschieht nach 

 der Methode der kleinsten Quadrate. Die dabei in Betracht kommenden 

 Erleichterungen der häufig recht umständlichen Rechnungen können wir 

 hier nicht näher besprechen, da dies zu weit fühi-en würde. Wer sich 

 dafür interessiert, mag sie in der kleinen Anleitung von Weitbrecht oder 

 in der Ausgleichungsrechnung von Herz (Sammlung Schubert) nachlesen. 



Hier nur einige einfache Fälle, die das Prinzip erläutern sollen. 



1. Beispiel: 



Man soll in einer Substanz den Gehalt an irgend einem Stoff, z. B. an 

 Chlor, feststellen. Durch eine Reihe von Analysen habe man gefunden, daß 



aj g Substanz b^ g Cl enthalten 

 a 





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