Mathematische BehandliiDE^ biologischer Probleme. 



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2. Fall: Es sei B=:C. Dann wird: 

 dx 



dt 



= k(A — x)(B — x)- und 



dx 



(A-x)(B-x) 

 dx 



- = kdt. Die Integration ergibt: 



j] 



--; = kt + C. Um das Integral zu berechnen, 



(A— x)(B— x)-^ 



müssen wir den unter dem Integralzeichen stehenden Ausdruck nach den 

 auf S. 378 gegebenen Regeln in Partialbrüche' zerlegen. 

 Es wird : 



R 



r.+ 



(A— x)iB— xj2 A— x (B— x)2 B— x 



Multipliziert man mit (A — xjiB — x)-, so erhält man 

 1 =R(B— xj2 + S(A— x) + T(A — xj(B— x). 

 Dies ergibt: 1 = (R + T)x-^ + (— 2BR— S— BT— AT)x + B^R + AS + ABT. 

 Hieraus folgt, da die Gleichung für alle Werte von x giltig ist: 



R + T = 0. 



— 2BR-S— (A + B)T = 0. 



B^R + AS + ABTrrl. 



Zur Berechnung von R, S und T multipliziert man Gleichung 2 mit 

 A und addiert sie zu Gleichung 3. Es wird: 



(— 2AB + B^)R— A-T=l. 



Da R = — T ist, so wird: 



(2 A B — B- — A-^j T = 1 und 



1 

 Tr 



(A-B)-^- 



Für R erhält man: R 



1 



(A-B)-^ 



und für S: 



S = 



A— B* 



Also lautet der obige Bruch: 

 1 1 



+ 



(A— xj(B— xj-^ (A — Bj2(A — xj lA— B)(B— x 



- + 



1 



(A— B)^(B— X) 



1 



(A-B/^ 



1 A— B 



+ 



lA — X (B— x)2 B — xJ' 



