Mathematische Behandlung biologischer Probleme. 



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Dann ist 



Oder, um das Auftreten des Logarithmus einer negativen Zahl zu 

 vermeiden : 



— K/. r dz . . r dZ 



1"*-^ V z;^=^ + v z=z; + ^' 



^ t = — 7. [ — In (Z2— Z)] + ß In (Z— Z.3) + C\ 



k; 



Die Werte für y. und 3 eingesetzt 



k; , _ Z, 

 2 Z1-Z.3 



ln(Zi— Z) 



In (Z— Z,) + C 



1 



z,-z, 



Zi— z, 



Zi In (Zi -Z ) - Z, In (Z— Z,)! + C\ 



Jetzt setzen wir die oben berechneten Werte für Zj und Z<, ein. 

 sowie auch den Wert für Z = \/\ : 



2 a + x, 



^1 f^ 



'-^ 



te^Hj^^-l-j+l^iHI/x + p^ 



+ c\ 



Da für t = auch x = ist , so resultiert nach Substitution dieser 



Werte 



C = 



(a + x,) 



r,'"h. 



a , a 

 In 



(a + x,) [/x/ 



Eingeführt 



K/ 



a + Xi 



x,ln [-^ — |/x] + aln f\^+ -L^—x^ln |'xi-aln-^l, 

 7x1 J ^ \x,J |xj 



a + > 



2 '"a + x, 



k he^^-^'^^-^^^'^- h <^^(^^+ fI^~^°iI:]] 



^ln& 

 a 



+ 



l x,. a + [xxi- 



K-i 2a 



t- a + x, 



a |x,-^'x 



und schließlich: 

 a + l'xx,- 



+ ln 



Geht man dagegen vom Ester aus, so ist der vorhandene Ester 

 (a— x). Die Titration ergibt die entstandene Säuremenge x (von der Säure 

 ausgehend, bedeutet der Titer die noch vorhandene Säureraenge). Die 

 Differentialgleichung lautet demzufolge: 



