Mathematische Methoden in den biologischen AVissciischaften. 575 



näher, die anderen ferner, und zwar sind kleine Fehler wahrscheinlicher i) 

 als große. 2) Als Ergebnis der Messung gibt man den ..wahrscheinlichsten" 

 AVert oder ..Mittelwert" an. Dieser wird, wenn alle Beobachtungen unter 

 genau gleichen Umständen ausgeführt wurden, also als gleich genau an- 

 gesehen werden können, durch das arithmetische Mittel aller beobachteten 

 Werte dargestellt. Hat man bei n-maliger Ausführung derselben Messung 



die Werte Z^, /, . . . 4 gefunden, so ist der Mittelwert L — '- + 2 + • • + » . 



n 

 die Summe aller ?- Werte schreibt man einfach 1/ oder nach Gauß [/], 



also L =: — !- .Da die Beobachtungswerte l teils größer, teils kleiner sind 



als der endgültige Mittelwert L, so rechnet man die Fehler v entsprechend 

 positiv oder negativ; die algebraische Summe aller Fehler einer Beob- 

 achtungsreihe ist [rjr=0, meist nicht genau, sondern annähernd, also 

 vielleicht besser zu schreiben \v\ ^0, und zwar um so eher, je größer 

 die Zahl der Einzelbeobachtungen war. Ein erhebliches Abweichen von 

 deutet auf grobe Fehler hin. Um die Genauigkeit der Messung beurteilen 

 zu können, wird man zu ermitteln trachten, wie groß der Fehler ist, der 

 im Durchschnitt oder im Mittel auf die Einzelbeobachtung kommt, und 

 Avie w^eit der als Endergebnis berechnete Mittelwert sich vom wahren 

 W^erte der Beobachtungen entfernen dürfte. 



Addiert man die absoluten Werte der Fehler v — sie seien mit 

 \ü\ bezeichnet — und dividiert die Summe durch die Anzahl der Beob- 

 achtungen, so erhält man den ,, durchschnittlichen Fehler-' einer Beob- 

 achtung d = Ü-J^, welcher aber kein richtiges Bild von der Zuverlässigkeit 



der Messung gibt, da bei seiner Ermittlung die einzelnen Fehler ohne 

 Rücksicht auf ihre Größe gleichen Einfluß haben. In der Tat aber wird 

 das Resultat durch größere Fehler in höherem Grade ungünstig beeinflußt 

 als durch kleinere, und man bestimmt deshalb lieber den ..mittleren Fehler", 

 bei dessen Berechnung man nicht die einzelnen Fehler addiert, sondern 

 deren Quadrate, und ihnen somit einen mit ihrer Größe progressiv 



*) Es kann nicht Aufgabe dieser kurzen Anleitung sein, die Richtigkeit der an- 

 geführten Sätze und Formeln zu beweisen. Hierüber sind die einschlägigen Spezialwerke 

 einzusehen, von denen einige im Literaturverzeichnisse (S. 670) angegeben sind und auf 

 die notwendigenfalls verwiesen wird. 



2) Siehe z. B. Weitbrecht [78J (S. 38—40). 



*) Die numerische Berechnung dieses Ausdruckes kann man sich dadurch er- 

 leichtern, daß man nicht die ?-Werte selbst addiert, sondern einen Näherungswert >\ 

 annimmt, der ungefähr in der Mitte in annähernd gleicher Entfernung von den ex- 

 tremsten ?- Werten liegt, und unter Beachtung der Vorzeichen die Differenzen v 

 addiert, welche A^ auf die einzelnen /-Werte ergänzen; durch Vereinigung der algebra- 

 ischen Summe der v-Werte, durch die Anzahl der Beobachtungen dividiert, mit dem 



Näherungswert erhält man dann den Mittelwert entsprechend der Formel L = A"-I 



(vgl. S. 001). 



