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f n — 1 



576 Emil Löwi. 



wachsenden Einfluß verleiht. Die Formel für das Quadrat des mittleren 



Fehlers m ist m-=z-—^'^ ; somit ist m = 

 n — ^1 



Die Genauigkeit des Mittelwertes L beurteilt man nach der Größe 



seines gleichzeitig anzugebenden mittleren Fehlers Ml, dessen Quadrat 



man aus dem mittleren Fehler der Einzelbeobachtungen durch die Di- 



Vision durch die Anzahl der Beobachtungen erhält: i/r^= — , somit 



ML=±-r^- 

 [?l 



Ist eine Messungsreihe mehrmals ausgeführt worden, von demselben 



oder von verschiedenen Beobachtern, und liegt von jeder Reihe ein Mittel 



(L'i, I/'a, L'g . . . . L's) vor, so wird man als Endresultat einen aus der 



Vereinigung der einzelnen Mittel hervorgegangenen Wert angeben; dieser 



\L'] 

 kann aber nicht einfach das arithmetische Mittel - — - sein; man muß 



s 



vielmehr berücksichtigen, daß Reihen, die aus einer größeren Anzahl von 

 Einzelbeobachtungen bestehen, dem wahren Werte näher kommen als 

 kürzere: das „Gewicht'' einer Reihe ist proportional der Anzahl von 

 Einzelbeobachtungen, aus denen sie besteht; man wird also, um das Ge- 

 wicht zu berücksichtigen, jedes Mittel mit der Anzahl n^, w.,, «3 . . . . fi^ 

 der Beobachtungen, aus denen es zusammengesetzt worden ist, multipli- 

 zieren und durch die Gesamtzahl aller Beobachtungen (Summe aller n) 

 dividieren. Der endgiltige Mittelwert L wird dann durch die Formel aus- 

 gedrückt: L=:-p4-^. 

 [n] 



Die bisher besprochenen Methoden, die sich mit der Ausgleichung 

 direkter Beobachtungen beschäftigen, finden auch Anwendung, wo es 

 sich nicht um wiederholte Messungen derselben Größe, sondern um 

 zahlenmäßige Feststellungen an demselben Merkmale verschiedener 

 gleichartiger Individuen handelt, worüber später in der Kollektivmaßlehre 

 berichtet werden soll. Hier mag noch erwähnt werden, daß man auf die- 

 selbe Weise bei der Zählung von in einem flüssigen Medium suspendierten 

 mikroskopischen Objekten (xMikroorganismen, isolierten Gewebszellen) mittelst 

 einer Zählkammer vorgehen kann, falls eine höhere Genauigkeit als bei 



') Man würde im Nenner n erwarten; dann wäre die Formel aber nur zutreffend, 

 wenn der wahre Wert bekannt und die Fehler die Abweichungen r,,. der einzelnen 



Beobachtungswerte vom wahren Werte wären; dann wäre ni''^ ^ — -. Berechnet man 



n 



aber die Fehler als Abweichungen der Eiuzelbeobachtungen vom Mittelwert, welcher 

 selbst wieder gegenüber dem unbekannten wahren Werte eine gewisse Abweichung auf- 

 weist, dann ist, wie man leicht ableiten kann (siehe z. B. Weitbrecht, S. 24—27), die 

 Quadratsumme kleiner, [r-] <^ [<V^]» und man muß auch den Nenner verkleinern; die 

 Verminderung gerade um die Einheit hat sich als allen Anforderungen entsprechend 

 erwiesen. (Ableitung siehe z. B. 1. c, ferner daselbst S. 30.) 



