Mathematische Methoden in den biologischen Wissenschaften. ßOl 



der Produkte aus jedem x mit dem zugehörigen ij durcli den Umfang der 

 Reihe {JJ — \ iiX) dividiert: 3/— V4^: zur Erleichterung der Rechnung kann 



\y\ 



man das auf S. 575. Anm. 3), erwähnte Vertahren der Wahl eines vorläu- 

 figen annähernden Mittelwertes iX) benützen und aus den Abweichungen fv) 



der einzelnen Häufigkeitszahlen {ij) das Mittel \K^-] bilden. Der Argu- 



raentdurchschnitt ist dann: M — X-\- -y^ (Beispiel siehe Tabelle IIa). Ent- 

 sprechend der bei der Fehlerausgleichung geübten Bestimmung des durch- 

 schnittlichen und des mittleren Fehlers läßt sich die durchschnittliche und 

 die mittlere Abweichung (<\; und r,„) der Argumentwerte vom Argument- 

 durchschnitt bestimmen: va = ' '',' und r,„ = l/illilL (siehe Tabelle IIb 



und cj. Die mittlere Abweichung, nach Briins Streuung genannt, bildet 

 ein Maß für die Ausbreitung des K.-G. — Die vorgeführte elementare Be- 

 rechnung des Argumentdurchschnittes und besonders der Streuung ist 

 bei Reihen von größerem Umfang langwierig und mühsam. Bruns hat 

 Formeln abgeleitet, mit deren Hilfe sich die Rechnungen bequemer und. 

 da auf das Summenverfahren zurückgehend , mit vorwiegender Anwendung 

 von Additionsprozessen ausführen lassen. 



Von den übrigen Bestimmungsstücken eines Kollektivgegenstandes 

 sind noch der Zentralwert und der dichteste Wert von Interesse. Der 

 dichteste Wert (oder das Dichtigkeitsmittel) ist am leichtesten aus der 

 Verteilungskurve ablesbar: es ist der Argumentwert, dem der größte 

 Ordinatenwert zukommt. Der Zentralwert ist aus der Summentafel (oder 

 der Summenkurve) zu entnehmen, er ist jener Argumentwert, für den die 

 Summenfunktion gleich dem halben Umfang des Kollektivgegenstandes ist: 

 die Anzahl der vor ihm liegenden Glieder ist gleich der der ihm nach- 

 folgenden.!) 



Schwanken die Argumentwerte innerhalb sehr weiter Grenzen, so 

 daß das Intervall der Wechselpuukte, welches man doch immer viel kleiner 

 als die kleinsten Argumentwerte wählt , im Gebiete der höheren Argument- 

 w^erte im Verhältnis zu deren Größe so klein ist, daß daselbst in jedem 

 Intervall nur ganz unbedeutende Zuwächse zustande kommen, dann ist 

 der vorgelegte K.-G. der gewöhnlichen (nach Fechner „arithmetischen") 

 Behandlung unzugänglich. Denn in der Region der höheren Werte würde 

 die primäre Verteilungstafel eine Reduktion verlangen, welche man aber 

 nicht in entsprechender Weise vornehmen kann, da bei einer Zusammeu- 



') In unserem Beispiel ist der dichteste Wert x=\\ (siehe Tabelle 11); der 

 Zentralwert liegt bei 13, da -^ =^ = 175 ist, und dieser Wert der Summenfunktion 



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zwischen den ^//-Werten 15 und 20 der Summentafel (siehe Tabelle IV) liegt, zu deren 



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 letzterem der Argumentwert 13 gehört. 



