Mathematische Methoden in den biologischen Wissenschaften. 641 



es handelt sich um einen unrein periodischen Kettenbruch (1:2, i), von 

 dessen periodischem Teil man den Wert auf folgende Weise erhält: 



1 =x und X := ; dui'ch Auflösung der Gleichung er- 



^"^T-f .... ^ + ^ _ 



gibt sich X + x2 = 1 und x —— ±1/ — +1= — — ±'-^= — ?— ; 



durch Vereinigung mit dem vorperiodischen Anteil — ergibt sich 



und -^= — . woraus durch die Umformung 



2 « _ 2+x 



2(1 5^ 8) 



^'ö — 1 I 5 +3 (|/ö + 3)(;|-5— 3) 



2 



= , ^ (|/5 — 3) = ^ — ([^5 — 3) der Ausdruck — -^ hervorgeht. 



1 12 3 5 8 

 Die vollständige Reihe der Brüche ist somit — , -;t-, -:^, -tt, -^, — , 



3—1/5 



— T^ — . Die Bedeutung einer irrationalen Zahl als Formel für die Diver- 

 genz ist die. daß an der ganzen Achse kein Blatt vorhanden ist, das 

 genau über einem anderen steht, i) 



Die Variationskurve durch eine Formel auszudrücken wurde, -«ie 

 bereits oben (S. 605) erwähnt, zuerst von Fechier-) versucht: das Gmiß- 

 sche Fehlergesetz, das die Beziehung der relativen Häufigkeit der ver- 

 schieden großen Beobachtungsfehler zu ihrer Größe ausdrückt, gilt an- 

 nähernd auch für die Abweichungen der variierenden Mermale der Or- 

 ganismen. 3) 0. Ämmon [2] gibt die Formel in der einfachen Gestalt an: 



y = — p^r^ wobei x den Betrag der Abweichung vom Mittel und y die 



Häufigkeit des Vorkommens (die Wahrscheinlichkeit) jeder x\bweichung 

 bedeutet ; e ist die Basis der natürlichen Logarithmen, die beiden anderen 

 Größen sind Konstanten, die für verschiedene Fälle verschiedene Werte 

 annehmen, und zwar ist Y die Häufigkeit des Mittelwertes, h ein Faktor, 

 der dem bei unvermeidlichen Fehlern unterw^orfenen Beobachtungen soge- 

 nannten Präzisionsmaß entspricht, einer Größe, die mit der Genauigkeit 

 der Beobachtung zusammenhängt.*) 



Eine Erweiterung erfährt die gewöhnliche variatiousstatistische Methode dann, 

 wenn es sich um die zahlenmäßige Vergleichung zweier oder mehrerer variierender 

 Größen miteinander handelt, etwa um das Verhältnis der Variation eines Organs zu der 



*) Hierüber s. Wiesner [68]. 



-) S. insbesondere die Zusammenstellung [81] S. 483 b. 



") Vgl. F. Ludwig [32]. 



*) Wie obige Formel, die auch y = Ye— •i'' ^^ oder Y exp (— h- x-) geschrieben 

 ■werden kann, theoretisch abgeleitet wird und wie sie in die dem Fehlergesetz gewöhn- 

 lich gegebene Fassung übergeführt wird s. Czuber [80] § 130; über das Präzisionsmaß 

 ebd. § 137. 



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