Mathematische Methoden iu den biologischen Wissenschaften. 645 



Sn und Px einführen, so wäre die Aufgabe, da X Gleichungen für bloß 

 3 Unbekannte vorhanden sind, überbestimmt; aus je 3 beliebigen speziellen 

 Gleichungen des Systems könnte man a, b und c berechnen — die Be- 

 obachtungswerte spielen hierbei die Rolle von Koeffizienten der die Unbe- 

 kannten darstellenden Konstanten — , die Ergebnisse würden aber von- 

 einander um mehr oder weniger große Beträge differieren. Diese Wider- 

 sprüche zu beseitigen ermöglicht die Ausgleichungsrechuung, welche auf die 

 von Gauß ausgearbeitete Methode der kleinsten Quadrate zurückgeht.^) 

 Hiebei Averden alle Beobachtungswerte in gleicher Weise zur Berechnung 

 verwendet. Multipliziert man die für das Gesetz angenommene Gleichung 

 der Reihe nach mit den Koeffizienten der x. (im vorliegenden Falle 3) Kon- 

 stanten (also mit 1 2». P und P'), und setzt in jede der x. Gleichungen nach- 

 einander alle X Beobachtungswerte ein, so erhält man /, Gleichungssysteme ; 

 durch Addition der speziellen Einzelgieichungen (..Bedingungsgleichungen") 

 jedes Systems ergeben sich so viele aus allen Beobachtungswerten berechnete 

 und voneinander unabhängige Gleichungen (..Xormalgleichungen"), als Un- 

 bekannte (Konstante, x) vorhanden waren. Auf diese Weise erhält man aus 

 Gleichung 3) dui'ch Einsetzung der Beobachtungswerte die Bedingungs- 

 gleichungen : 



Si = a + bP, + cPi^ 

 Sg = a -}- bP., + cPa^ 

 Sg = a + bPg + CP32 





o 



und [S] =:Na+ b[PJ + c[P^] 4) 



als erste X'ormalgleichung: ferner erhält man aus Gleichung 3) durch Multi- 

 plikation mit P, bzw. mit P^ zunächst 



SP = aP -f bP2 4- cPs 

 und SP2 = aP2 4- bP^ + qV\ und durch Addition der 



entsprechenden Bedingungsgleichuugen die 2. und 3. Xormalgleichung : 



[SP] = a[PJ + b[P2] + c[P3] 5) 



[SP2] ^ a [P2] + b [P3J + c [P*] 6). 



Durch die Gleichungen 4), 5) und 6) sind die 3 Konstanten eindeutig be- 

 stimmt. Führt man die angezeigten Summenausdrücke aus (Tabelle X) und 

 setzt ihre speziollen Werte in die 3 Gleichungen ein, so erhält man die 

 speziellen X'^ormalgleichungen : 



*) Näheres s. die auf S. 578 angegebene Literatur ; vgl. ferner Anm. ^) auf S. 577. 

 -) Koeffizient von a ist ?"=!. 



