Mathematische Methoden in den biologischen Wissenschaften. QQ\ 



chunar auf v = ^^ h n kann man den Ausdruck als abhängige Variable 



^•'x — m X — m 



ansehen, die bei Vermehrung der Glieder — zur Erzielung größerer Genauigkeit, 



vgl. vorige Seite, Z. 21 v. u. — als 2., 3., . . . . Potenz einzuführen und mit Koeffizienten 



k,, kg, ... . als neuen Konstanten zu verseben sein werden: 



k. , k. 



(X — m) (x — m)'-' 



oder y = n -(- kj X + k, X- 4- . . . . Ebenso könnte man , wenn etwa die Formel y = 

 a + b log X ein beobachtetes Gesetz nicht genügend genau wiedergibt, versuchen, durch 

 die Formel y =: a + b log x -f c log- x eine bessere Übereinstimmung zu erzielen. 

 Ableitungen und spezielle Berechnungen siehe bei Steinhäuser. 



3. Die mathematische Fassung von Hypothesen. 



Oft läßt sich über den Ablauf eines Vorganges auf Grund gewisser 

 Überlegungen oder durch Analogie mit anderen Vorgängen eine Formel 

 aufstellen, welche zwar nicht geeignet ist, unmittelbar durch die Beob- 

 achtungsresultate auf ihre Richtigkeit geprüft zu werden, wohl aber nach 

 einer gewissen Umformung: die Formel gibt die Beziehungen zweier den 

 Vorgang charakterisierenden Beobachtungsgrößen als Differentialgleichung 

 wieder. Da ein Vorgang als eine Reihe von stetig ineinander übergehen- 

 den Zuständen gedacht werden kann, läßt sich von der Geschwindig- 

 keit, mit der diese Veränderung jeweils vor sich geht, sprechen, und 

 im Sinne dieser übertragenen Bedeutung des Geschwindigkeitsbegriffes 

 kann man außer der Geschwindigkeit bewegter Massen etwa eine iVuf- 

 lösungsgeschwindigkeit annehmen, oder eine Abkühlungsgeschwindigkeit, 

 Wellenfortpflanzungsgeschwindigkeit, Reaktionsgeschwindigkeit u. dgl. Kann 

 man nun die Geschwindigkeit — als Differentialquotient ausgedrückt — , 

 auf Grund einer irgendwie berechtigten Annahme, einer gewissen Be- 

 ziehung zweier beobachtbarer Größen gleichsetzen und integriert diese 

 Differentialgleichung, so erhält man eine Formel, aus welcher man durch 

 Einsetzung spezieller Werte der Beobachtungsgrößen unmittelbar ihre und 

 damit auch der gemachten Annahme Richtigkeit, bzw. bei Nichterfüllung 

 der Gleichung durch die Beobachtungswerte die Unrichtigkeit der gemach- 

 ten Annahme erkennen kann. 



Madsen und Jürgensen i) beobachteten, daß eine Ziege, der sie 40 cm^ 

 einer Choleravibrionenkultur injiziert hatten und täglich etwas Blut aus 

 der Jugularvene entnahmen, ein Serum lieferte, dessen agglutinierende 

 Kraft (q) in den ersten Tagen bis zu einem Maximum (am 8. Tag) an- 

 stieg, dann aber erst rasch und allmählich immer langsamer abfiel. Madsen 

 nahm an, daß der Abfall annähernd nach dem für die Geschwindigkeit 

 einer chemischen Reaktion geltenden Gesetze erfolge : die Geschwindigkeit 

 wäre zu jeder Zeit (t) der bestehenden Konzentration (durch die agglutinie- 

 rende Kraft ausgedrückt) proportional; die Formel enthält dann eine 

 Potenz von {\ (der Wert des Potenzexponenten n muß erst durch Rech- 



*) Zit. nach Ärrhenius [4], S. 3—6. 



