1. Reine Mathematik (nebst Geodäsie). (§ 3.) 13 



Während wir somit bezüglich der Multiplikation recht günstig gestellt 

 sind, geht es uns hinsichtlich der Division um so schlimmer, denn wir be- 

 sitzen weder irgend theoretische Anleitungen für diese Operation noch auch 

 irgend ein ausgeführtes Divisionsbeispiel. Wenigstens gilt dies für die 

 dekadischen Zahlen, und wenn man auch mit Delambre ^) das Dividieren im 

 Sexagesimalsystem auf das Dezimalsystem übertragen kann, so hat man doch 

 eben nicht die Sicherheit, völlig im Sinne der Alten gehandelt zu haben. 

 Das Potenzieren ist nichts anderes als ein fortgesetztes Multiplizieren und 

 braucht nicht besonders behandelt zu werden. Hingegen verdient das 

 Wurzelausziehen der Griechen um so mehr eine besondere Betrachtung, 

 in einem selbständigen Paragraphen, als dasselbe doch von unserer modernen 

 Art und Weise des Radizierens sich beträchtlich unterscheidet. 



Ehe wir jedoch diese generelle Übersicht beschliessen. haben wir noch 

 ein Wort von den sechzigteiligen Brüchen der Griechen zu sprechen, welche 

 allerdings ausschliesslich in der rechnenden Astronomie zur Geltung kamen 

 und sich hier als so nützlich erwiesen, dass ihre Behandlung, die Theorie 

 der „fractiones asfronomicae^^ oder „fractiones physicae^"' das ganze Mittel- 

 alter hindurch ein Studienobjekt für den weiter Strebenden bildete. Das 

 Sexagesimalsystem als solches ist den westlichen Völkern aus dem 

 Zweistromlande zugekommen, 2) wo ja auch die Einteilung des Kreisumfanges 

 in 3G0 Grade zu Hause ist,^) und die Griechen sahen sehr wohl ein. dass, 

 wenn überhaupt eine Potenzreihe von der Form 



n\ m - 1 2 1 — 1 — 2 — 3 



. . . A . 10 + B . 10 + . . . 4- X . 10 + Y . 10 + Z + « . 10 + ^? . 10 + y . 10 . . . 

 im dekadischen Systeme als geeignetstes Mittel zur Darstellung einer be- 

 liebig grossen Zahl erscheint, diese Zahl 10 durch eine andere ganze Zahl, 

 etwa durch 00, ersetzt werden könne. Wann jedoch diese wegen ihrer 

 rascheren Konvergenz bequeme Reihendarstellung sich Eingang zu ver- 

 schaffen wusste, sind wir nicht in der Lage angeben zu können; Auto- 

 lykos, der kurz vor Eukleides lebte, wusste noch nichts vom Sexagesimal- 

 system, und erst in spätgriechischer Zeit finden wir diese Lehre systema- 

 tisch für Unterrichtszwecke dargestellt, dann aber gleich in so vollendeter 

 Gestalt, dass diese nur das Endresultat eines längeren Entwicklungsganges 

 sein kann. W'w streifen hier bloss kurz ein erst neuerdings bekannt ge- 

 wordenes Lehrbüchlein, dessen Verfasser man nicht kennt,') und verweilen 

 dafür länger bei dem sehr tüchtig gearbeiteten Kommentar, mit welchem 



*) Delambre-Hoffmann, S. 33. Sternkunde keineswegs zum Vorwurfe, wenn 



■•'j Cantok, S. 70 ff. ; Oi'I'ekt, Etulun des üire Vertreter zuerst da.s Jalir 3iiU Tayeii 



mesurcH ansijriennes, Paris l87ö. gleichsetzten; an jedem Tage nuulite dii 



•") Den (icdanken, ob nicht unsere ge- 



bräuchliclie Kinteihing des vollen Winkels 



und der Kreisiteripherie babylonischen Ur- 



K|iruMg8 sei, regte zuerst FnitMALKoNis „Say- 



i/m sitlla <int(ca tttiutint ilci Veneziani* 



(Venedig 17Mf)) an, und gegenwärtig wird 



wohl allseitig die Kichtigkeit dieser Hypo- 

 these anerkannt ((^antoh, S. h;{ 11".). Da es 



nicht leitht ist, die Ut-wcgung der Sonne in 



Sonne ^, - ihres Gosamtweges, und da dieser 



Weg einen Kreis dai'stellt, so big es gewiss 

 nahe, einen .solchen 'l'agesweg (, Schritt* oder 

 „(irad*) als Kinheit der Kreiseinteilung gelton 

 zu lassen. 



*) Ojxisciiliiin de mullijdictitioite et tli- 

 naiiiue se.viit/esiiiittldius l)iiti>liiinlo rtl /'d/i/ti» 

 (tt(rihucndu>ii, etl. 1Ik.M(\. Halle 1S71I; vgl 



der Niihe der sogenannten Nolstitien zu he- dazu die Kritik von llri.Tscii in Zeitschr. 

 übachten, so gereicht es der chaldäisihen .Math. rh\s., 'Jl. Hand, M.l. .Mit. ."^. l'JU l\. 



