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A. Mathematik, Naturwissenschaft etc, im Altertum. 



Theon von Alexandrien, ein Zeitgenosse des Kaisers Theodosius L, das 

 astronomische Hauptwerk des Ptolemaios begleitete, i) Theon lehrt das 

 Multiplizieren mit Sexagesimalzahlen ganz ebenso, wie dies (s. o.) Euto- 

 Kios mit Dezimalzahlen thut; beim Dividieren geht er nach Massgabe 

 des folgenden Exempels zu Werke. Es soll berechnet werden, wie viel 



1^1515 + g^j + g^j : 1^25 + — + — j ergibt. Wir emanzipieren uns 



diesmal von der schleppenden griechischen Zahlenbezeichnung, machen aber 

 speziell der Sexagesimalrechnung die Konzession, die ganzen Zahlen als 



Grade, die Faktoren -^ als Bogenminuten(„m«M^apnwa"), die Faktoren ^-r^ 



als Bogensekunden {„mimda secunda") aufzufassen, wobei dann auch das 

 Wesen von Tertien, Quarten u. s. w. ganz von selbst klar wird. Dann 

 ist somit die Division 



1515" 20' 15" : 25» 12' 10" 

 zu vollziehen. 25 geht in 1515 zunächst 60mal; es ist 1515 — 60 . 25 

 = 1515 — 1500 =15. Diese 15 Grade verwandelt man in Minuten; es 

 sind 900', wozu noch 20' hinzutreten, und von diesen 920' sind 60 . 12' 

 = 720' abzuziehen. Es bleiben somit 200' nebst den noch übrigen 15". 

 Davon wären 60 . 10" = 10' zu subtrahieren, so dass nach Wegnahme 

 des vollen ersten Teilproduktes noch 190' 15" übrig bleiben. Nun divi- 

 diert Theon mit 25 in 190' und findet als grösste ganze Zahl 7; mit dieser 

 verfährt er ebenso, und so gelangt er, mit Weglassung der Tertien, also 

 nur approximativ,-) zu dem Ergebnis, dass der Quotient in diesem Falle 

 60 7' 33" betrage. 



4. Das Wurzelausziehen bei den Griechen. Höhere als dritte 

 Wurzeln kamen im Altertum, da ja das Rechnen niemals Selbstzweck, 

 sondern einzig durch die Bedürfnisse des praktischen Lebens, der Geometrie 

 und der angewandten Mathematik, bedingt war, überhaupt nicht vor; Kubik- 

 wurzelausziehungen jedoch wurden, wie wir weiter unten sehen werden, 

 gewöhnlich durch eine geometrische Konstruktion erledigt. Auch bei Quadrat- 

 wurzelausziehungen behalf man sich in der altern Zeit sicherlich mit em- 

 pirischem Ausprobieren.^) Verhältnismässig sehr genaue Näherungswerte 

 quadratischer Irrationalgrössen finden wir hingegen in der Kreismessung 

 des Archimedes ') und in den der praktischen Geometrie gewidmeten 

 Schriften des Heron-^) von Alexandrien, während der Astronom Aristarch 



') Commentaire de Theon sur la com- 

 position mathematiqnc de Ptolemee, cd. 

 Halma, Paris 1821. 



-) Genaue Annäherung wird durch das 

 Wort tyyiaiu ausgedrückt. 



^) Friedlein, Die Zahlzeichen etc., S. 81 ; 

 HüLTScii, Jalnl). Pliil. Päd., Mh. Band, S. 534. 

 Erstercr sagt: „Ich habe nichts finden können, 

 was auf eine andere Metliode schliess^en liesse, 

 als dass man zuerst durch Prol)ieren die 

 Ganzen ennittelte, deren Produkt mit sich 

 selbst dem vorliegenden Radikanden gleich 

 oder doch so nahe war, dass diö Vermehrung 



der Wurzel um 1 das Quadrat zu gross 

 machte. Im letzteren Falle ermittelte man 

 dann ebenso den Bruch, dessen Beiziehung 

 zur Wurzel das Quadrat dem Radikanden 

 so nahe l)iachte, dass man den Fehler ver- 

 nachlässigen konnte." 



^) Archimedes, ed. Heibero, Vol. I 

 S. 204 ff. 



■') Heronis Alcxandriiii geomctricorum 

 et stereometricorum reliqtiiue, ed. Hultsch, 

 Berlin 1804, S. 163 flf., S. 182 fF., S. 212 und 

 a. a. St. 



