2 g A. Mathematik, Naturwissenschaft etc. im Altertum. 



beispielsweise die Reihe (1 + 2 + 3 + . . . + ") ""d erhielt in der Summe 

 , wenn man nunmehr dem n jeden beliebigen ganzzahligen Wert 



beilegte, die sogenannten Dreieckszahlen. ') Auch dass eine Summe beliebig 

 vieler konsekutiver ungrader Zahlen, die Einheit mit inbegriffen, die 

 Quadratzahlen liefere, war bekannt. So war der Grund zu der Theorie 

 der Polygonalzahlen gelegt, die denn auch Philippos Opuntios, ein 

 Schüler Piatons, zuerst in systematischer Form abgehandelt haben soll. 2) 

 Während man mit den Quadratzahlen experimentierte, verfiel man auch 

 auf die Untersuchung, ob die Summe zweier derartiger Zahlen wieder eine 

 Zahl desselben Charakters sein könne; es fand sich, dass 3- -j- 42 = 52 ist, 

 allein im übrigen führte die Lösung der unbestimmten Gleichung x^ -[-ya^z'-^ 

 auf Schwierigkeiten. Nach dem übereinstimmenden Urteile aller Gewährs- 

 männer muss die erste uns aufbewahrte Auflösung dieses Problemes als 

 echt pythagoreisch gelten.^) Wir haben weiterhin zu konstatieren, dass 

 schon die altern Pythagoreer die drei Proportionen {uvaloyiai) in Be- 

 tracht zogen, welche noch heute zum eisernen Bestände der elementaren 

 Arithmetik gehören, die arithmetische, geometrische und harmo- 

 nische oder musikalische.^) Sind diese Proportionen — die dritte muss es 

 an und für sich sein — stetig, so kann man zu den zwei Zahlen a und b das 

 arithmetische, geometrische und harmonische Mittel (.«fcor/^c) finden; das- 

 selbe hat resp. den Wert — - — , Kab und . . Von Pythagoras' Ver- 



^ a ~|~ D 



diensten um die Zahlenlehre wird später die Rede sein. 



Wir setzen unsern W^eg durch die Jahrhunderte fort und machen, da 

 wir uns unter der Aufschrift einer von Diogenes Laertios dem Demokritos 

 zugeschriebenen Abhandlung 5) nichts rechtes zu denken vermögen, erst 

 wieder längern Halt bei Piaton, der in Theodoros von Kyrene einen 

 tüchtigen Lehrer der Mathematik besessen haben muss.'^') Der grosse Denker 

 ist gerade mit Bezug auf seine mathematischen Verdienste schon dreimal ') 

 zum Gegenstande spezieller Behandlung gemacht worden, doch liegen eben 

 diese Verdienste nicht so sehr auf dem uns in diesem Augenblick interes- 



') Durch die Heranzielmng einer -wenig 1 Pythagoreer über, 



bekannten Stelle bei Lukianos (ßt'wj' nquaiq) \ *) Cantor, S. 140. 



hat Allman in der oben zitierten Abband- '") Diogenes Laertios, IX, 47. Soll die 



lung der irischen Zeitschrift ^Hermathena" pchrift tt^oX iVk^yiov y^auuiov xal .'«arwr {i 



obige Behauptung erhärtet. Cantor, S. 142. vieHeie-ht das Irrationale ' zum Gesrenstande 



■^) Ibid. S. 14;?. Bioy^xicfoi, ed. Wester- 

 MANN, Braunsclnveig 184.5, S. 446. 



») Aus der Gleichung folgt die weitere 

 X- = (z + y) (z — y); betrachtet man die 

 beiden Faktoren, griechisch gesprochen, als 



, ähnliche Flächenzahlen", so ist z + y = 



gehabt haben'? ii'/.oyog hat später diese Be- 

 deutung. 



^) Nach Piatons eigener Angabe habe 

 der Pythagoreer Theodor bewiesen, dass 



V%^ Vb,J^Q, \i,V^, Viö, Wh K12, 



Vl3, VU, Vih, Vll nicht in geschlos- 

 senen Zahlen angebbar, d. h. irrational sind. 

 ") Blass, De Piatone mathcmatico, Bonn 

 1861 ; Friedlein, Beiträge zur Geschichte 

 der Mathematik, 111. ilof 1873; Rothlavf, 

 Die Mathematik zu Piatons Zeiten und seine 

 diese allgemeine Lösung in diejenige der i Beziehungen zu ihr, München 1878. 



b 



b- ab .^ a- + b- 



z — v= ,x = — u. somit z = — n j 



•' c c 2c 



a'.' ]j! 



y = — -, zu setzen. Für- b = c — 1 geht 



