1. Reine Mathematik (nebst Geodäsie). (§ 5.) 



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sierenden Gebiete. Erwähnt sei nur jetzt schon, dass Piaton der eigent- 

 liche Begründer der Methodik und Philosophie der Mathematik ist, dass 

 er sich um die Verschärfung ihrer Begriffsbestimmungen und um die Verbes- 

 serung ihrer Terminologie bemühte, und dass er den Gegensatz zwischen 

 synthetischem und analytischem Beweisverfahren richtig definierte. Wahr- 

 scheinlich von seinem Lehrer Theodor angeregt, gibt er im 8. Buche der 

 „Republik" eine korrekte Ansicht über das Wesen "des Irrationalen kund. 

 Auch rührt von ihm, wie Proklos ausdrücklich hervorhebt, eine Modifikation 

 des pythagoreischen Auflösungsverfahrens für die Gleichung x- + y- = z- 

 her.i) Unter Piatons Nachfolgern in der Akademie sind von unserm gegen- 

 wärtigen Standpunkte aus zu nennen Theaitetos, der den Begriff des 

 Irrationalen auch auf dritte Wurzeln ausgedehnt zu haben scheint,-) Leon, 

 der zuerst auf die beschränkte Giltigkeit der Lösung irgend einer mathe- 

 matischen Aufgabe hinwies und damit einen selbst heute noch nicht immer 

 gehörig beachteten Umstand betonte, ^j und Eudoxos der Knidier, ein mathe- 

 matisches Universalgenie,^) der die Proportionenlehre verbesserte.^) Caxtor's 

 Ansicht,*^) dass Piatons Neffe Speusippos sich nicht als Mathematiker be- 

 thätigt habe, wird durch einen jüngst veröffentlichten Aufsatz Tannery's 

 widerlegt,^) dafür aber hat Caxtor**) zuerst das Verdienst des um 339 v. Chr. 

 an die Leitung der Akademie herangetretenen Xenokrates gehörig ins Licht 

 gestellt; Xenokrates hat wohl zuerst kombinatorische Betrachtungen ge- 

 pflogen und damit eine Bahn betreten, auf welcher er ohne Vorgänger war 

 und sehr lange ohne Nachfolger bleiben sollte.'*) 



Der grosse Aristoteles (384—322) war bekanntermassen nicht 

 Mathematiker von Beruf, allein seine vielseitige Thätigkeit brachte ihn doch 



') Piatons Speziallösung ergibt sich aus 

 der eben angefiilirten allgemeinen Formel, 

 sobald iiKui darin b = c = 2 setzt und a 

 willkürlicli Jässt. 



•') KoTHLAUi-, S. 24 ff". 



^) Seit Leon zerlogt man die von einer 

 Aufgabe {Ti(}ößhjjU(e) abliängigcn Geistesthätig- 

 keiten, wie folgt: Stellung der Aufgabe; Lö- 

 sung, d. li. Angabc, welche Keclinungcn oder 

 Konntriiktiüiicn zu machen sind; Beweis, 

 dass diese Lösung das gewünschte wirklich 

 ergebt^; endlich Determination (()t()()tau6g), 

 d. h. Festsetzung der (ültigkeitsgrenzen. 



•') Wegen des Kudoxos ist voiniinijicli 

 nacbzuseiien Idelers Abhandlung in den Denk- 

 scbriften der Herliner Akademie (MatluMna- 

 tische Klasse. 182H, S. IS'J ff.; 1K2!). S. 4'J ff.). 

 Wir haben (Inind zu der Holfming, diuss 

 neue l''(Mscinin;;en (il»er diesen f;e\valtigen 

 (leist in nicht ferner Zeit ans Licht kommen 

 werden. 



■'■) Allerdings laufen manche überflüs- 

 si^'e Sulitilitälcn mit unter, doch gingen in 

 iliesei' Itczielnuij.; die Nachfolger (b's Kudoxos, 

 ili(t uns nur dtircii eine Notiz des .lamldichoH 

 hekannlen AiilhnK^tiker 'i'emminides mid Ku- 

 phianin-, noch viid weil<'r. 



") C'AN'nui, S. 211. 



'') Tannery, Annales de hi facuJte fJes 

 h'ttres de Bordeaux et de Toulouse, 1883, 

 Nr. 4; Mullach, Fragmenta philosophorum 

 Graecorum, vol. IIL, Paris 1881, S. (,i3. Die 

 betreffende Schrift handelte ,von den pj-tha- 

 goreischen Zahlen"' uml zwar einei-seits von 

 den Vieleckszahlon und verwandtem, anderer- 

 seits von den Proportionen. 



'*) Cantou, S. 2lö. 



') l'nmittelbar nach Aristoteles, und 

 jedenfalls auf seine Anregung hin, suchten 

 Chrysippos, llipj)archos und .Vristoxeims die 

 Kombinatorik auf die Logik und Metrik zu 

 übertragen, um zu erfahren, wie viel Syl- 

 logismen und Versfüsse aus gegebenen 

 Klenjenten sich zusammensetzen lassen (Can- 

 tou, S. 220 ff.). l'appos bestimmte jene 

 Kombinatiiuiszahlen, tlio wir heute mit 

 n (n -1- n (n -f 2) , n (n + 1) , . , 



\ o o "'"' .) bezeu'linen 



(ibid. S. MHti), und gtdegentlicii kamen audi 

 die Inder auf die Sache zurück (iltid. S. WIU ff), 

 dann alier ihiuerte es liis zum Knde des XV. 

 Silknlnms, bis aucii m-uer«« Matiienuitiker zu 

 permntieren und zu komliinieren begannen 

 (I'antüh, i)a.s tiesety. im Zufall, Ibuiui 1S77. 

 S. 7). 



