1. Reine Mathematik (nebst Geodäsie). (§ 6—7.) 21 



matischen Unendlichkeitsbegriffes tüchtig vorgearbeitet hat. Ahn- 

 lich gestaltete sich in der Hauptsache das im ojxvTÖxior.^) wörtlich .Mittel 

 zur Schnellgeburt " , niedergelegte System des ApoUonios; als wesentlichster 

 Unterschied kann gelten, dass der sizilische Mathematiker als nächst- 

 höhere Einheit Oktaden, der kleinasiatische dagegen Tetraden angesehen 

 wissen wollte. 



Die Namen beider Forscher sind auch dann noch in der Geschichte 

 der niedern Analysis verewigt, wenn wir von ihrer Vertiefung des deka- 

 dischen Zahlensystems absehen. Von Archimedes' Quadratwurzeln hatten 

 wir bereits zu sprechen; ebenderselbe hat aber auch-) zuerst die unendlich 



abnehmende geometrische Progression (1 + t+t^ + ^ +•••) sum- 

 miert und ihren Wert = f gefunden, er hat zuerst, durch eine stereo- 

 metrische Aufgabe veranlasst, eine kubische Gleichung ^) zwar nicht gelöst, 

 aber richtig auf das Vorhandensein einer reellen Wurzel geprüft, er hat 

 endlich*) die independente Summe der Reihe (l- + 2^ + 32-|- ...-f-n-j 

 bestimmt. ApoUonios aber scheint die Lehre vom Irrationalen über den 

 zu seiner Zeit bereits erreichten Standpunkt hinaus gefördert zu haben. 

 Ein gewisser Vettius Valens, dessen Schrift wir freilich nur in der ara- 

 bischen Bearbeitung des Abu Othman kennen, gibt uns Auszüge aus jenem 

 im Originale verlorenen Traktate, die immerhin ausreichend waren, um 

 AVoEPcKE ■') das Material zu einer scharfsinnigen Wiederherstellung desselben 

 zu liefern. Hiernach hätten sich die Überlegungen des ApoUonios ganz 



allgemein auf Aggregate von der Form |^|/-^ Kb+ Vc+ )erstreckt.6) 



7. Die allg-emeine Arithmetik bei den Alexandrinern. Wir ge- 

 langen nunmehr zur alexandrinischen Schule, welche in regelrechter Kon- 

 tinuität durch mehr denn 9 Jahrhunderte, von Ptolemaios Soter bis zur 

 arabischen Okkupation Ägyptens, den Krystallisationspunkt griechischer 

 Mathematik abgab und vor allem in mathematischer Beziehung einen durch 

 alle Zeiten und Länder sich geltend machenden Einfluss ausübte.") Den 

 Beginn macht der grosse Systematiker, dessen Werk bis zum heutigen 

 Tage noch von vielen als das beste Grundbuch für das Erlernen der 

 Mathematik gebalten wird und selbst denen, welche einem andern didak- 

 tischen Parteilager angehören, als ein Muster strengster Konsequenz und 

 exakter Diucliführung gelten muss, 



Eukleides, den man bis vor 200 Jahren regelmässig mit dem gleich- 

 namigen I^hilosophen verwechselt liat, schrieb dieses sein Werk, die <;oixtTa 



') Knochk-Mäbker, Ex I*iocU . . . er- '. «) Sulclic Vorbindun/jen hiessen t'tXoyoi 



positionem . . . comiiicntati sunt K. et M.. aiaxToi j,'i';,'c'niibi>r di-ii i^iXoyoi sihloihtwei;. 



lloilord IHrifi; (.'antoh, S. L"J7. den yt'wöliiiliclu'ii (luadratisilioii Irratioiiaii- 



-) Aicliiincdt'.s, cd. Hkideiui, Vol. II, j täten. 



S. :?48 ff. ') Durch Cantoh (Zoit.sclir. Mutl>. IMiv.s.. 



■') Cantoh, S. 2('>r,. I 22. Hd., H.-I. A. S. 1 iX.) ist rs sehr währ 



') Ibid. Vül. II, .S. ;{(j fr. .siliciiilicli f^.iiiaclit wdidoii. da.s.s dii- in dorn 



'■) Wöi'OKi:, h'sstii (l'itnc rcstiditioii des indisilu-ii KultiiMlnub»'. den (,"uh jusutrju*. jui- 



Irnnuu- ptnlus ,VA,,nU„muH mr les 7««»- | geg.d.i.iH-ii Worto für V'2 und V Haus Ab- 



UtvH nndionairs, ,l„,,r,s ,lt's tmhcutious ; xan.lria iinpoitieH wan-n. 

 tni'ca 11 Uli iiKiniiscnf (tritlir, raris 1851t. 



