1. Reine Mathematik (nebst Geodäsie). (§ 7.) 23 



Zahlen, welches unter dem Xamen der Staffeldivision bekannt ist. Auch 

 die Summation einer geometrischen Reihe kommt hier vor.') Eines der 

 kostbarsten Denkmäler griechischen Scharfsinns endlich ist das 10. Buch, 

 in welchem, kurz gesagt, die allgemeine Theorie von Ausdrücken der Form 



\/a -|- V'b vorgetragen wird; 2) die geometrische Darstellung war un- 

 vermeidlich, kann aber in den Augen des modernen Lesers nur als eine 

 Erschwerung der an sich nicht ganz einfachen Materie erscheinen. 



Von den zahlreichen übrigen Schriften des Eukleides haben wir hier 

 zunächst nur vorübergehend die Data {^fdoiu'ra) zu nennen, weil darin 

 graphische Lösungen gewisser quadratischer Gleichungen enthalten sind.^) 

 Das angeblich euklidische algebraische Gedichtchen aus der „Anthologie" 

 kann wohl echt sein, doch fehlt es an eigentlichen Beweisgründen für die 

 Authentizität.^) 



Indem wir weiter schreiten, zieht zuerst eine astronomische Schrift 

 des Hypsikles (s. 0.) unsere Aufmerksamkeit auf sich, weil in ihr die 

 richtige allgemeine Definition der Polygonalzahlen und zugleich die Summen- 

 formel für arithmetische Progressionen zu finden sind.'') Ihm folgt zunächst 

 jener Heron, über dessen Persönlichkeit wohl eingehender diskutiert 

 worden ist als über diejenige irgend eines andern antiken Mathematikers, 

 dessen Blütezeit jedoch den neuesten Forschungsergebnissen zufolge mit 

 grosser Sicherheit ungefähr in das Jahr 100 v. Chr. verlegt werden darf.*^) 

 Heron war weit mehr Geometer als Arithmetiker, doch gewähren uns seine 

 Schriften auch nach dieser letztern Seite hin manche Ausbeute, wie schon 

 oben bei den Quadratwurzeln bemerkt werden konnte. Besonders verdient 

 betont zu werden, dass der gewandte, aber von der sonstigen Skrupulosität 

 seines Volkes weit entfernte Mann sich einmal infolge eines Rechnungs- 

 fehlers zur Quadratwurzel aus einer negativen Zahl geführt sah und sich 

 aus diesem Dilemma durch die mehr denn kühne Annahme K — 1 = 1 

 rettete!'') Jedenfalls war auch Heron soweit gekommen, die Lösung von 

 ax2-[-bx = c nicht mehr im euklidischen Geiste als eine Konstruktions- 

 aufgabe, sondern bereits als eine reine Rechnungsauf gäbe aufzufassen.**) 



') Zeuthen, 'J'idsshrift f'or JMdthemutik, | men und Data, Scliulpfoita I8ÜI1. Unter dem 



(4) VI, S. 297. arithuietisc'hen Gesiclitspunkte zieht in d<?n 



■•') Die detailliertesten Auseinandersetz- deöofif'ya die Auflösung des Systomes x -f y 



«ngen über dieses in seiner Art einzig da- = a, xy = b' unsere Aufmi-iksauikoit auf 



stellende Buch findet man bei Nesselmann, sich. 



•S. 1(J5 ff. 4) c'antor, P. 24(; iX. 



") Die Data sind vollständig in unserni *) Ibid. S. 'M'2. Der Hnu|itsatz wird in 



Hesitze; Marinus von Tyrus, ein Schüler des i folgendei Fa.ssung ausgesprochen: - (a -f 



l'rokloH, hat sie uns in VeihiiMliing mit einer (a -j- d) -f . . . -}- (a -|- pd)| -f- ((a -f (p -f- 



von ihm seihst angefertigten Vorrede hinter- 1) d) -f (a + (|> + '-*) d) -(-... -|- (a -f- 



lassen. Der Zweck der in die Schrift auf- j (2p -f- 1) d)| — (p -f 1) -d. 



genoninuMK-n Mh Siltze ist der, darzuthun, | ") Frülier glaubte nuin an di<> Existenz 



dass zugl(!ich mit der Setzung gewisser He- uudirerer Hi'riui V(Ui selir vei-schiedeneni 



zi«'hungeii zwischen gegebenen (irüsseu aiu'h ,Mt»'r : 11. .Mauhns Aufsalz in tion ,Miiii. 



noch andere Heziehungen mit gegeben seien. jrres. jxir tUrtis stiniiils <i raaid. ilrs hi- 



('aktoh nennt (S. 2ir>) die Data ,(M)uiigs- scrijit. et hi-llcs Uttics' (1, IS.'il) hat die 



siltze zur Wiederauffrischuug der Klemeiite". obige, von Cantor mit weitern .ArguiiH-nteu 



Deutsche (ihersetzungen hesorgteu SiiiWAii gestützte Ansicht zur (Jeltung geluacht. 



(Stuttgart 17HU) und Wi km (Merlin ISJ.S); ') (;antok. S. ;<;;it tf. 



ausserdem vgl. IkcnitiMiKit, Kuklids I'oris- •*) lltid. S. l\i'2. 



