1. Reine Mathematik (nebst Geodäsie). (§ 8.) 



^sokoyov/jisva rr^q aQi&iir^ixf^g herrühren, der aber immerhin zugleich die 

 Entstehung der Quadratzahlen durch die sich schliessende Reihe 1 + 2 -j- . . . 

 4-a — 1 -fa + a— l + ...-|-2+l--a2 bemerkte, ij da ist Metro- 

 DOKOs, der mehrere unter den arithmetischen Epigrammen der „Anthologie" 

 verfasst haben soll, 2) da sind die gelehrten Kommentatoren Theon von 

 Alexandrien und Eutokios von Askalon,^) denen wir bereits unsern Dank 

 dafür zollten, dass sie uns mit dem numerischen Rechnen ihrer Vorfahren 

 bekannt machten, da ist der uns bereits wohlbekannte Proklos und end- 

 lich Johannes Philoponos, dessen Schollen zu Xikomachos^) wenigstens ein 

 litterarisches Interesse besitzen. Ein weiteres Vordringen würde uns be- 

 reits in den doch ziemlich abgeschlossenen Kreis der eigentlichen Byzan- 

 tiner hineinführen. Nur der unglücklichen Hypatia, einer Tochter Theons, 

 wollen wir noch gedenken, die den Diophant kommentiert und überhaupt 

 sich eifrig mit Mathematik beschäftigt haben soll,^) Xur allzu bekannt ist, 

 dass sie rolfer, angeblich christlicher Intoleranz zum Opfer fiel. 



Ganz isoliert thront auf einsamer Höhe unter den spätem Griechen 

 der genialste unter den griechischen Arithmetikern, Diophantos. Um zu 

 seiner richtigen Würdigung durchdringen zu können, müssen wir uns erst 

 in einem besondern Paragraphen den Boden bereiten. 



8. Zahlentheorie und unbestimmte Analytik bei den Griechen. 



Mit der Betrachtung der Eigenschaften ganzer Zahlen, ohne jede Rücksicht 

 auf deren rechnerische Verknüpfung, hatten sich bereits die P>i:hagoreer 

 eifrig beschäftigt; sie schufen die Begriffe befreundeter,'-) vollkom- 

 mener,^) überschiessender und mangelhafter'^) Zahlen, Begriffe, die 

 nur als geistvolle Spielereien aufzufassen sind, zum Nachdenken aber vielen 

 Stoff bieten und selbst im Mittelalter noch gerne hervorgesucht wurden, 

 um damit Staat zu machen.^) Es sei gleich hervorgehoben, dass schon 

 Eukleides eben jene Eigenschaft der vollkommenen Zahlen aufdeckte, die 



') Caktob, S. 392. 



'■') Zirkel, Die 47 arithmetischen Epi- 

 gramme der griechischen Anthologie, Bonn 

 1853; Nesselmann, 8. 477 ff. Ein noch un- 

 hekaiintes Epigramm liat 1773 Lessing (Zur 

 (loschichte der Litteratur, 1. Bd., S. 421 ff.) 

 den sclion vorhandenen liinzugefiigt; dasselbe 

 wird uns gleich nachher besonders beschäf- 

 tigen. 



») Tanneby, Darb. Bull., (2) VIII, S. 315 ff. 

 Es wird festgestellt, dass zwei Mathematiker 

 Amnionios und Hcliodoros (s. u.) um 450 n. 

 (.'hl-, leliten, und da diesem Amnionios dio 

 Schriften des Eutokios gewidnu't sind, so 

 kann auch die Lebenszeit dieses letzteren 

 als gesichert gelten. 



') .lohannes l'hiloponus in Nicomaclii 

 iiitrotliivtidtinii iiritlinittiiinn, ed. Hociie, 

 1. lieft, Leipzig lHt;4; 2. Heft, Berlin 1807. 



■') Nksski.mann, S. 253; (."antou, 8.421; 

 lldciiK, l'hilologuH, 15. Bd., S. 435 ff.; W. A. 

 Mkvkii, liypada V(in .Vk'xandria, ein Beitrag 

 zur (leMchichle (bs Neu|)hit(iui,smuH, Heidel- 

 berg 18Ht;. Im d<i ietztgenaniil«-!! Scbrift 



sind vielfach noch nicht benützte patristische 

 Belegstellen, zumal von Socrates Scholasticus, 

 verwertet, aus denen hervorgeht, dass Hy- 

 patia mehr dem klassischen Altertum als 

 dem damals modernen zugestutzten Platonis- 

 miis anhing. 



^) Zwei Zahlen sind befreundet, wenn 

 jede der Summe der Teiler der andern gleich 

 ist; so ist 220 ^ 1 + 2 + 4 -f 71 -f 142. 

 und dies sind die Teiler von 284, während 

 2S4 = 1 -f 2 + 4 + 5 + 10 -f 11 -f 20 -f 

 22 + 44 + 55 + 110 ist, und diese letzten 

 Zahlen geben, geeignet multipliziert, 220. 



') Bedeutet n die 'i'eilcrsumme einer 

 Zahl m, und ist n = ni, so ist die Zahl voll- 

 kommen. Beispiele: 0=1+2 + 3; 28 - 

 1+2 + 4 + 7 + 14. 



•*) Wenn ny <m, bat man deu ^(^>l^'*uo^ 

 vTKQTi'Xtioi oder fXkurit^i. 



") Sehr belehrend ist in dieser llinsicbl 

 IlrotHvitbas Hranui .Hadrian* ; s. Bakack. l>ie 

 Werk« der HrotMvitha von (iandei-sheini, 

 Nürnberg 1858, S, 273 flf. 



