28 A. Mathematik, Naturwissenschaft etc. im Altertum. 



Sxv = c^, x)cv = g6 {dvvcciag ist die zweite, xißog die dritte Potenz). 

 Solchergestalt sieht sich der Alexandriner instandgesetzt, Gleichungen in 

 einer vergleichsweise der heute üblichen angenäherten Form anschreiben 

 zu können. Es werden nun die bestimmten Gleichungen ersten und zweiten 

 Grades mit Einer Unbekannten aufgelöst, auch ein Spezialfall der kubi- 

 schen Gleichungen begegnet uns. i) Seine eigentliche Meisterschaft jedoch 

 entfaltet Diophantos erst in der unbestimmten Analytik; es mangelt ihm 

 total an allgemeinen Methoden, allein er ist ein Virtuos in der Kunst, 

 jedem Einzelfalle die etwa vorhandene schwache Seite abzugewinnen. 2) 

 Immerhin entdeckte er bei dieser Thätigkeit gleichsam unwillkürlich manch 

 schönes Theorem der Zahlentheorie, so beispielsweise j'enes, dass (ac — bd)^ 

 + (ad + bc)2 = (ac + bd)^ -\- (ad — bc)2 ist. 3) 



Eine zweite Schrift Diophants sind die Porismen, zahlentheoretische 

 Sätze, zu deren Charakterisierung wir z. B. den folgenden anführen wollen:*) 

 Eine Zahl von der Form (8n -|- 7) kann niemals als die Summe von drei 

 Quadraten dargestellt werden.^) Endlich verfasste er auch noch einen 

 kurzen Abriss der Lehre von den Polygonalzahlen, ^) in welchem die Ori- 

 ginalität des Autors sehr in den Hintergrund, die alte geometrische Strenge 

 der euklidischen Richtung dagegen wieder in ihre vollen Rechte tritt. 



Die Werke Diophants waren während des Mittelalters, einzelne Araber 

 ausgenommen, in vollkommene Vergessenheit geraten, welcher sie der 

 Heidelberger Professor Xylander durch eine lateinische Übersetzung der 

 sechs arithmetischen Bücher (Basel 1571) entzog. 1621 Hess Bachet de 

 Meziriac in Paris seine in ihrer Art mustergiltige Originalausgabe er- 

 scheinen, hinter welcher die Ausgabe Fermat's (Toulouse 1670) trotz ihres 

 guten mathematischen Kommentares weit zurückstehen muss. Eine dem 

 Standpunkte der modernen Kritik sich anpassende Ausgabe gehört noch 

 immer zu den frommen Wünschen; um die Verdeutschung Diophants haben 

 sich Poselger und 0. Schulz Verdienste erworben.'') 



10. Die Geometrie der vor euklidischen Zeit. „Das Mathematiker- 

 verzeichnis" des Proklos (s. 0.) führt den Milesier Thaies als den ersten 

 an, der sich unter den Griechen theoretisch und praktisch mit Geometrie 



1) Cantor, S. 407. 



*) Nachstehend ein typisches Beispiel 

 (Nesselmann, S. 365; Diophantos, lib. III, 

 prob. 7): Drei Zahlen zu finden, so dass so- 

 wohl die Summe aller drei Zahlen als auch 

 die Summe von je zweien eine Quadratzahl 

 sei. Unser Autor setzt erstgenannte Summe 

 gleich (x- -|- 2x + 1), die erste und zweite 

 zusammen = x'', die dritte also = 2x + 1 ; 

 ferner seien die zAveite und dritte zusammen 

 = x^ — 2x -|- 1, dann ist die erste = 4x, 

 die zAveite = x^ — 4x. Es muss nun nur 

 noch die Summe aus erster und dritter Zahl, 

 d. h. der Ausdruck (tjx + 1) ein vollkom- 

 menes Quadrat werden, avozu schon in Pro- 



■*) Diophantos, Porismata, lib. V, prop. 14. 



•'•) Gelegentlich hat nach Tannekys Be- 

 merkung (Mem. Bord., (2) IV, S. 395 ff.) Dio- 

 phant in seinen ^Porismen" auch die arith- 

 metische Lösung gewisser biquadratischer, 

 aber auf quadratische Gleichungen zurück- 

 zuführender Gleichungen mitgeteilt, die Eu- 

 kleides früher geometrisch konstruiert hatte. 

 Hierher gehört z. B. das System: xy = a'^, 

 x- — my- = b". 



*) Nesselmann, S. 462 ff.; Cantok, 

 S. 413 ff. 



') Poselger, Diophantos von Alexan- 

 drien über die Polygonalzahlen, übersetzt mit 

 Zusätzen, Leipzig ISIO; Schulz, Diophantus 



blem 10 und 11 des nämlichen Buches die ! von Alexandria arithmetische Aufgaben nebst 

 erforderliche Anleitung gegeben ist. | dessen Schrift über die Polygonalzahlen, 



') Cantok, S. 410. | Berlin 1822. 



