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A. Mathematik, Naturwissenschaft etc. im Alterturi» 



gedacht haben soll/) des Oinopeides, auf den die Legende einige der 

 elementarsten Konstruktionsregeln zurückführt,-) und des Demokritos, 

 der sich selbst an geometrischem Wissen über die ägyptischen Harpedo- 

 napten stellt.^) Auch die sonst oft mit etwas scheelem Auge betrachteten 

 Sophisten haben in der Geschichl^ der Geometrie keine unwürdige Rolle 

 gespielt: Hippias der Eleer zeigte in der von ihm erfundenen Quadratrix 

 {leTQayan'f^ovaa) eine höchst merkwürdige transzendente Kurve auf, mit 

 deren Hilfe man die manigfaltigsten Probleme zu lösen vermag,^) Zenons 

 Paradoxa führten die Geometrie zu schärferer Prüfung ihrer sozusagen 

 metaphysischen Existenzbedingungen,^) Antiphon undBryson entwickelten 

 sehr gesunde, wenn auch praktisch zunächst noch nicht realisierbare Ideen 

 über die Möglichkeit, krummlinig begrenzte Flächenräume durch gradlinig 

 begrenzte auszumessen. '^) Da wir gerade bei den einer bestimmten philo- 

 sophischen Richtung angehörigen Geometern stehen, so greifen wir ge- 

 schichtlich noch etwas weiter vor. Eine viel erörterte Stelle in Piatons 

 „Menon" gibt uns ein ausgezeichnetes Beispiel von dem, was die geome- 

 trische Pädagogik der Alten von einem katechisierenden Verfahren {rsx^'ij 

 liuiiviixi] des Sokrates) verlangte.") Auch gab Piaton die erste (mechani- 

 sche) Lösung des berühmten delischen Problemes von der Würfelverdoppe- 

 lung ;S) Archytas suchte dieser selben Aufgabe mittelst Kurven von dop- 

 pelter Krümmung beizukommen, die hier zuerst in der Geschichte auf- 

 treten,-') Menaichmos benützte zum gleichen Zwecke Durchschnitte von 

 Parabeln und Hyperbeln, welche krumme Linien er in der Weise plani- 

 metrisch als Ortskurven konstruierte, wie es ihren Orthogonalgleichungen 

 y2 = px und xy = a"^ entspricht, i*^) Es muss hiernach Menaichmos auch 

 mit den die Hyperbel in der Unendlichkeit berührenden Asymptoten bekannt 

 gewesen sein, ii) Dass auch Eud oxos dem delischen Probleme seine Teilnahme 

 zuwandte, ist gewiss, die Art seiner Lösung jedoch nicht sicher gestellt. i-) 

 Jedenfalls ist Eudoxos der Begründer der wissenschaftlichen Stereometrie ^^) 



') Plutarch, De exüio, ciip. 17: „'-/AA' 

 'Jyii'iayÖQag fiif it' t(o d'ea^uwTtjo'uo rof tov 

 xi'y.kov rsTQCiywt'iafudf ty^cdps. 



■-) Proklos, ed. Feiedlein, S. 283, S. 333. 



^) Caktok, S. 1G3. 



•*) BLASS (Jahrb. Phil. Päd., 105. Band, 

 S. 28) und Hankel (S. 151) nehmen an, 

 dass der Sophist und der Mathematiker Hip- 

 pias zwei verschiedene Persönlichkeiten ge- 

 wesen seien. 



•'') Eine sehr verständnisvolle Kritik 

 dieser Sophismen gibt Raab, Die Zenonischen 

 Beweise, Schweinfurt 1880. 



^) Bkktschneider, S. 125 ff. Was wir 

 von Antiphon und Bryson wissen, ist von 

 Bretschneider dem Kommentare des Sim- 

 ])]icius zur aristotelischen Physik entnommen 

 worden. 



') Es handelt sich darum, aus einem 

 auf der tiefsten Stufe der Bildung und Denk- 

 kraft stehenden Sklaven durch passende 

 Fragen die Auflösung der Aufgabe heraus- 

 zulocken, wie ein Quadrat mit Beibehaltung 

 der Gestalt zu vordoiipclu sei. Sehr viel 



ward zur Erklärung dieser Stelle geschrieben, 

 bis Benecke (Über die geometrische Hypo- 

 thesis in Piatons Menon, Elbing 1867) die 

 richtige Deutung gab; s. auch Favaro, Sulla 

 ipotesi geometrica nel Menone di Piaion, 

 Padua 1875. 



^) Cantor, S. 195; Bretschneider, S. 142. 



^) Es handelt sich um die Durchdring- 

 ungskurvcn nicht koachsialer Kegel und Zy- 

 linder, Tannery (Mem. Bord., (2) II S. 277 ff.) 

 übersetzt die Auflösungen von Archytas und 

 Eudoxos, soweit wir letztere kennen, in die 

 gewöhnliche Sprache der analytischen Rauni- 

 geometrie. 



">) Cantor, S. 199. 



^') Dieses Verfahren, wie manches andere 

 gleicher Tendenz, kennen wir nur aus dem 

 Eutokios-Konimcntar: zu vergleichen wäre 

 auch Reimer, llidoria problcmuiis de cuhi 

 daplicutionc, Gott. 1798. Ein gewöhnliches 

 Plagiat hievon lieferte Biering, Jlistoria pro- 

 blematifi cuhi duplicandi, Kopenhagen 1844. 



'-) Cantor. S. 199 ff. 



'■') Ibid. S. 208. Nach Arciiimedes ist 



