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A. Mathematik, Naturwissenschaft etc. im Altertum. 



— wenigstens uns in diesec Eigenschaft als erster bekannt gewordenen — 

 Versuch, systematisch die Einzel Wahrheiten, die man bis dahin gefunden 

 hatte, zu einem einheitlichen Lehrgebäude zusammenzufassen, während man 

 vorher gleichsam nur das am Wege aufgehoben hatte, was bei den das 

 Terrain beherrschenden Untersuchungen über die drei Fragen der Kreis- 

 quadratur, der Würfelverdoppelung und der Dreiteilung des Winkels an 

 neuen Sätzen sich ergeben hatte. Man begreift wohl, dass dieses System 

 ebenso wie den Autor, so auch die Zeitgenossen mit gerechtem Stolze er- 

 füllte, man begreift dessen stolze Entgegnung an Ptolemaios Soter: „Zur 

 Geometrie führt für Könige kein besonderer Weg."^) Wir wollen dieses 

 System des Eukleides nunmehr wenigstens in seinen Grundzügen kennen 

 lernen. 



Die „Elemente" beginnen mit 23 Definitionen (oQoi), 5 Grundfor- 

 derungen {ahrji^iava) und mehreren Grundsätzen, welch letztere sonst bei 

 den Griechen u^ioöpLara, hier aber xoival h'voicci genannt werden. 2) Diese 

 Grundlage hat sich natürlich Eukleides durch Sammlung und geeignete 

 Zusammenfügung anderweit vorgefundener Bausteine geschaffen, nur die 

 Postulate, meint Tannery,^) seien gänzlich geistiges Eigentum des Autors. 

 Das 1. Buch enthält die Begriffe von Kongruenz und Flächengleichheit, 

 angewandt auf die einfachsten gradlinigen Figuren, und schliesst mit der 

 Umkehrung des pythagoreischen Lehrsatzes ab, das 2. Buch ist arith- 

 metisch-geometrischen Lihaltes, das 3. Buch widmet sich dem Kreise und 

 das 4. den einem solchen ein- und umbeschriebenen Polygonen. Eingeleitet 

 durch das 5. Buch (Proportionen, s. o.) kann im nächsten die Ähnlichkeits- 

 lehre in vollster Allgemeinheit vorgetragen werden. Buch 7 bis 10 sind 

 schon in § 6 näher besprochen worden; wir können uns also gleich zu den 

 räumlichen Gebilden wenden. Buch 11 bringt die Sätze von dem gegen- 

 seitigen Verhalten von Ebenen, Graden und Punkten im Räume, wobei 

 auch schon des Parallelepipedums und Prismas gedacht wird, Buch 12 ent- 

 hält das 'abstrakt ausgedrückte Material zu den Theoremen, mittelst deren 

 wir heute die Inhaltsbestimmung der stereometrischen Elementargebilde 

 (Polyeder, Zylinder, Kegel, Kugel) vollziehen,^) und im letzten Buche ist 

 von den regulären Polyedern, ihren Beziehungen zur Kugel •'"') und der 

 Thatsache die Rede, dass es nur fünf derselben gibt. Diesen Schlussab- 

 schnitt wollte Proklos«) als den hinstellen, um dessen willen das ganze 



') Proklos, ed. Friedlein, S. G8. 



2) Gewülnilicli zählt man 11 Axiome 

 auf; Heiberg erkennt deren aber nur fünf 

 an, nämlich 1, 2, 3, 7 und 8 der Vulgata. 

 In Wahrheit kann besonders das berüchtigte 

 elfte Axiom, das die Parallelenlehre einleitet 

 und Jahrhunderte lang zu beweisen versucht 

 ward, bis Lobatchewsky imd Bolyai mit gänz- 

 licher Umgehung desselben ihre nichteukli- 

 dischc Geometrie begründeten, kaum als ein 

 <cSi(jDfit( im altgrieehischen Sinne gelten. 



■') Darb. Bull., (2) VIII, S. 162 ff. 



••) Hier findet auch der planimetrische 

 Lehrsatz Platz: Kreisflächen verhalten sich 

 wie die Quadrate ihrer Durchmesser. Zum 



Beweise macht Eukleides von einem Kunst- 

 griffe Gebrauch, welcher den Keim der spä- 

 teren metrischen Ujiiversalmethode des Ar- 

 chimedes in sich schliesst. Stolz (Ber. der 

 Innsbnickcr nat. Ges., XII, S. 74 ff.) formu- 

 liert dieses Lemma genau und stellt fest, 

 unter welchen Bedingungen für ein Grössen- 

 system der Satz giltig ist: Eine Grösse kann 

 so oft vervielfältigt werden, dass sie jede 

 andere ihr gleichartige übertrifft. 



■'') Merkwürdigerweise ist nur die um- 

 und einbeschriebene Kugel behandelt, die 

 gleichberechtigte kantenberührende aber ver- 



«J ' Proklos, ed. Friedlein, S. G8 ff., S. 72. 



