1. Reine Mathematik (nebst Geodäsie). (§ 12.) 35 



Exhaustionsmethode: in und um die krummlinige Figur werden Polygone, 

 in und um das krummflächige Raumgebilde werden Polyeder beschrieben, 

 und mit einer auf den Leser etwas ermüdend wirkenden Gleichförmigkeit 

 wird nachgewiesen, dass die Differenz zwischen dem zu messenden Gebilde 

 — Kurvenbogen, Flächen- oder Rauminhalt — und jenem Hilfsgebilde 

 kleiner gemacht werden könne als jede noch so kleine vorgegebene Grösse, 

 d, h. verschwindend, unendlich klein. Man kann sich angesichts der Sicher- 

 heit, mit welcher Archimedes auf sein Ziel losgeht, der Überzeugung nicht 

 erwehren, dass derselbe sich empirisch schon eine gewisse Kunde des 

 demonstrativ zu erhärtenden Resultates verschafft haben muss. ') Mit diesem 

 Rüstzeug versehen, leitet Archimedes in den zwei Büchern ntQ\ atfuiqu^ 

 xal xvXivdqov eine Reihe jetzt in alle Lehrbücher der Stereometrie über- 

 gegangener Sätze her, darunter auch die, dass wenn r den Radius einer 

 Kugel von der Oberfläche und vom Kubikinhalte Ji, J.- den ihr umbe- 

 schriebenen gleichseitigen Zylinder und Jj den in letztern beschriebenen 

 Kreiskegel bedeutet, = Ay-tc ist, und die Proportionenkette J^ : Ji : Ja 

 = 3:2:1 besteht. 2) 



Weit schwieriger gestalten sich die Untersuchungen in dem Buche von 

 den Konoiden und Sphaeroiden, worin die durch Umdrehung eines Kegel- 

 schnittes um eine seiner Hauptachsen entstandenen Körper kubiert werden, 

 worin von Cantor^) aber auch die Anfänge der Zentral Perspektive nach- 

 gewiesen worden sind, und in dem Buche von den Schneckenlinien [ntol tXfxcoi); 

 dasselbe entwickelt mit unglaublich geringem Apparat die ganze Theorie jener 

 transzendenten Linie, welche seitdem archimedische Spirale genannt und von 

 uns in der bequemen Polarkoordinatenbezeichnung durch die Gleichung 

 r = (f. Konst. ausgedrückt wird.^) Gering an Umfang aber höchst inhalts- 

 reich ist endlich noch der Essay über die Quadratur der Parabel: ein 

 Parabelsegment, abgeschnitten durch eine im Abstände a vom Scheitel 

 senkrecht auf der Achse errichtete Sehne von der Länge b, ist seinem 



4 

 Inhalte nach = ö^'^- Dass auch die Ellipse von den Achsen a und b 

 o 



durch den Ausdruck -. ab tt quadriert werden könne, hat ebenfalls kein 



anderer als Archimedes zuerst bemerkt.'*) 



Die Wirksamkeit unseres Helden auf mechanischem Gebiete wird uns 

 erst im nächsten Abschnitte zu beschäftigen haben. Wir können deshalb 

 jetzt von ihm Abschied nehmen und uns seinem jüngoron Kivalon zu- 

 wenden. 



Das Hauptwerk des Apullonios bildet sein klassisch zu iionnondos 



') DioH liobt mit Hoclit OiTicuDiNCiicK ' abji^t'biliiot 



') Cantoii, y. 'J»l(>. 



•) uioH iioiJi nui ivocni ^^/fiickdincmck 



liervor: Ikätrilgo zur (ioHc.liic.lito dor t^^rio- ; \jAnnju, o. ^un. 



cliiHchcn Miitlifiiiatik, Ulm IHGO. Zumiil diu ••) Vgl. wogoii diosor Kiirvj> dioScIniftiMi : 



Wago miiHHtc die HU'ri'tniM'lriHciicM Eilt- Juncie, Die Spinilo dt'8 .KiiliiimHlt's, Zoit/ 



di'ckiiiigün dcH lOiidoxdH und Ak liimodcs vor- IH'Jd; l,i:nMANN, Dio anliimcdistho Sjuralo 



lien-itou. uiit KlU-k.iiilit auf iliro lioscliirlite, Froilung 



'^) DiuHtui Sal./. wall mau auf di-u viui I i. 15, ISli'J. 



Cicuro aJH HiziÜMchcm l'r(>|irilltir winlcr auf '') Cantok, S. 'J(i2. 



K<'iMn(iriii'n ( iralislt'iui- des AicIiiMu-ilus | 



