1. Reine Mathematik (nebst Geodäsie). (§ 15.) 41 



des doppelten Winkels, genannt Sinus, zu setzen, i) Ptolemaios aber kennt, 

 wie schon gesagt, nur die Goniometrie der Sehne; er teilt den Kreisumfang 

 in bekannter Weise, aber auch den Diameter des Einheitskreises in 120 

 gleiche Teile (z/u^/xar«), deren jeder wieder sexagesimal weiter geteilt wurd. 

 Ausgehend von den leicht zu berechnenden Seiten des 3-, 4-, 5-, 6- und 

 10-Ecks im Kreise, berechnet dann Ptolemaios mittelst eines von ihm 

 selbst aufgefundenen Lemmas '^) die Sehnen der einzelnen Bögen von halbem 

 Grad zu halbem Grad, nachdem er sich erstmalig durch ein äusserst sinn- 

 reiches Grenzeinschliessungsverfahren die Sehne von ^ 2 ^ verschafft hat. 

 Im elften Kapitel schliesst sich die eigentliche Trigonometrie an. Dieselbe 

 ist wesentlich eine sphaerische, und zwar ist, was ja auch für die speziell 

 astronomischen Zwecke ausreichend war, nur das rechtwinklige Kugeldreieck 

 berücksichtigt. Bezeichnen wir dessen Hypotenuse mit c, die übrigen Stücke 

 aber in bekannter Weise, so können wir die vier Sätze, die Ptolemaios 

 mit Hilfe des uns bekannten Transversalensatzes von Meuelaos herleitet, 

 zusammenstellen, wie folgt: 3) 



cos c = cos a cos b, cos a sin b sin « = cos « sin a, 



sin a = sin « sin c, cos b sin c cos « = sin b sin c. 



Ebene Trigonometrie wird nicht systematisch abgehandelt, allein Pto- 

 lemaios zeigt, dass er gegebenenfalls auch mit ihr sehr wohl umzugehen 

 versteht.*) 



Ob Ptolemaios auch über Kaumkoordinatendarstellung {negl diaain- 

 (Tf-iav) geschrieben, ist aus der Notiz des Simplicius nicht sicher zu ent- 

 nehmen, s) Wir bemerken nur noch, dass ersterer für 71 den recht brauch- 



8 30 



baren Wert 3 -[- ,rr, + ^r\<> = 3,142 kennt und verwendet.^) Damit ist 

 oO oO"^ 



schon die Geschichte der hellenischen Trigonometrie abgeschlossen, und 

 höchstens darf noch der Vollständigkeit halber jener uns bekannte Kom- 

 mentar des Theon genannt werden. 



15. Altrömische Mathematik. Für den Kömer der guten alten 

 republikanischen Zeit war abstrakte Wissenschaft kaum vorhanden; was 

 sich nicht unmittelbar zu Kriegs-, Rechts- oder Haushaltungskunde in 

 Beziehung bringen Hess, interessierte ihn nur wenig. So gab es denn aucli 

 in jener Periode keinerlei theoretisches Wissen und noch weit wenigor 

 theoretische Forschung, sondern nur praktische liechenkunst und Feld- 

 messkunst. Ihre Zahlzeichen haben die Römer mutmasslich den Etrus- 



') Cantor, S. .^.VJ ff. ; S. l):V2 ff. I (los von zwi-i im alltcoiiu'iuon uiigloiili 



-) Dios iHt der hciiiliiiitc ptoloinäisclio ' gro.s.scn — Kroisl)()goii lii'unMiztcii Klärlioii- 



licIiiHiitz: In jedem Selmenvieicck ist das ; stütkos, welches der Mond iiei |>aitiellor 



|{('(^lil('tk iuis den beiden Diii^oniilen gleich Sonneiilinsternis ans der ebenen Sunnen- 



der Snmme. der Itechlecke ans je zwei (legen- j Scheibe heranssciineidi't ; dass dalioi die Me- 



seilon. (Iloicheii Konservativisiims, wie eibcim rochnung eines Dreieckswinkels ans den 



Hewiise dieses Salzes zn Tage tritt, könnt [ drei iSoiton nicht nmgangen werden konnte. 



die ganze (les(hichte der Mathematik nicht; j liegt auf der Hand. 



man besilzl zur Zeil koiiUMi andern (denu'n- •"') t^ANTOK, S. \Mu. 



laren Beweis, als den mittels (>iner sclnm | ") rtolonnions lit>nhtzt die soxngosimalon 



von l'tolenniios zu diesem /wecke» angeg<'lu'- itritche elu>nso wie andere tlio Stammbrilche 



m'M llillslinie. I 1 /i M '•'» -'M 



') Cantok, S. ar.d: IIanki:!.. S. 2Hri ff. j (H.ü.);ürsotzt u.a. \ W — ,;q('"'» + „q + (jQsf 



') Ks handelt sich da tim die (irUHSO | 



