32 ÉLOGE HISTORIQUE 



Le premier est intitulé : Mémoire sur quelques-unes des 



formes les plus simples que peuvent prendre les intégrales des 

 équations différentielles du mouvement d'un point matériel , 

 Dans un travail que j'ai cité déjà, il avait montré que, si 

 l'on se donne au hasard une intégrale d'un problème de 

 mécanique, où l'on suppose seulementque les forces dépen- 

 dent uniquement des positions des points du système et 

 nullement des vitesses de ces points, non seulement les 

 forces sont en général déterminées, mais il peut même, 

 arriver que l'on soit conduit à une contradiction, et qu'il 

 n'existe aucun problème admettant l'intégrale donnée. 

 Cette intégrale ne saurait donc être choisie arbitrairement ; 

 elle doit satisfaire à des conditions. Ce sont ces conditions 

 que Bertrand se propose de rechercher et, comme il remar- 

 que que les intégrales des aires et celles des forces vives 

 sont entières par rapport aux composantes des vitesses, il 

 se propose la question suivante : 



Chercher tous les problèmes de mécanique qui admet- 

 tent des intégrales entières ou rationnelles par rapport aux 

 composantes des vitesses. 



Un tel problème serait, aujourd'hui encore, au-dessus 

 de nos forces. Bertrand en a ébauché la solution générale 

 pour le cas du point matériel mobile dans un plan. D'autres 

 sont venus à sa suite : Massieu, Bour, Ossian Bonnet. 

 Tout ce que nous savons aujourd'hui sur la détermination 

 des lignes géodésiques des surfaces a sa source dans son 

 Mémoire, dont l'effet est loin d'être épuisé. 



Le second travail que publia Bertrand après son 

 élection est d'une nature toute différente. Il lui a été 

 inspiré, sans doute, par une leçon de l'Ecole Nor- 

 male et a pour objet la théorie des polyèdres régu- 

 liers. 



Les cinq polyèdres réguliers, le tétraèdre, le cube, l'oc- 

 taèdre, le dodécaèdre, ont été connus dès la plus haute 

 antiquité. Leur découverte remonte à l'époque de Pytha- 

 gore. Les anciens, sensibles aux propriétés mystérieuses 



