JOSEPH-LOUIS-FRAJNÇOIS BERTRAND 33 



des formes et des nombres, leur attribuaient le rôle le plus 

 important dans leurs systèmes cosmogoniques. Leur étude 

 était considérée comme le couronnement de la géométrie. 

 Chez les modernes, plus positifs, les idées mystiques que 

 les anciens avaient attachées à une recherche purement 

 scientifique avaient beaucoup nui à cette théorie des corps 

 réguliers; et l'historien Montucla la comparait irrévéren- 

 cieusement à ces mines que l'on abandonne, parce que le 

 produit n'en paierait pas le travail. 



Euclide, dans le xm e livre de ses Eléments, et Legendre, 

 dans sa Géométrie, avaient rigoureusement établi que les 

 cinq solides de Pythagore sont les seuls polyèdres réguliers 

 qu'il soit possible de former. Poinsot, en supprimant pour 

 les polyèdres la condition d'être convexes, eut ici, comme 

 dans la théorie des couples, la gloire d'attacher son nom 

 à une découverte impérissable, et de nous faire connaître 

 quatre solides réguliers nouveaux. 



Cette découverte eut un grand retentissement. Son 

 auteur, quand il la publia en 1810, avait appelé l'atten- 

 tion sur l'utilité qu'il y aurait à la compléter et à recher- 

 cher s il existe encore d'autres solides réguliers. Cauchy, 

 alors à ses débuts, entra dans la lice et publia sur ce sujet, 

 en 1813, deux Mémoires dignes de son génie. Dans le pre- 

 mier, il établit que les trois dodécaèdres et Ticosaèdre nou- 

 veaux, découverts par Poinsot. épuisaient, avec les polyè- 

 dres de Pythagore, la série des corps réguliers. 



Le résultat était important, la démonstration rigoureuse. 

 Mais elle exigeait une grande attention et l'emploi de mo- 

 dèles en relief. 



Bertrand, que tant de liens d'affection et d'admiration 

 rattachaient à Poinsot, revint sur cette belle question et 

 donna la démonstration la plus élégante du théorème de 

 Cauchy. Elle repose sur le lemine suivant : 



Les sommets de tout polyèdre étoile doivent être aussi les 

 sommets d'un polyèdre régulier convexe. 



Il n'y a donc qu'à prendre les cinq polyèdres de Pytha- 

 gore et à chercher quels polygones réguliers on peut obte- 

 nir en groupant convenablement leurs sommets : ces poly- 

 gones réguliers sont les faces des polyèdres cherchés. 



3 



