CHARLES HEKMHI. 155 



rrx <//' FAcajlimie de Berlin. On n'avait pas môme 

 démontré que ce nombre ne peut être racine dune 

 équation du second degré à coefficients entiers ; et, à 

 plus forte raison, il n'était pas établi qu'on ne peut le 

 construire à l'aide de la règle et du compas. 



Il y avait une différence essentielle entre les diver- 

 ses irrationnelles qui se présentent dans les trois 

 problèmes que nous venons d'énumérer. Pour la 

 duplication du cube et la trisection de l'angle, les 

 inconnues, définies par une équation du troisième 

 degré, étaient comprises clans cette classe générale 

 d'irrationnelles qui sont les racines des équations algé- 

 briques de tous les degrés. Mais en dehors de ces 

 nombres algébriques, dont les profondes recherches 

 d'Hermite ont commencé l'étude et la classification, 

 l'Analyse infinitésimale nous en fournit d'autres, for- 

 mant des classes encore plus étendues : tel est le rap- 

 port de la circonférence au diamètre ; tels sont le 

 nombre e, base des logarithmes naturels, la cou si an If 

 dEuler et une foule d'autres qu'il serait même impos- 

 sible d'énumérer. Pour en pénétrer la nature, il faut 

 se demander d'abord si ces irrationnelles ne seraient 

 pas, dans tous les cas, assujetties à satisfaire à une 

 équation algébrique de degré convenablement choisi. 

 On pourrait le soutenir. Tout nombre rationnel est 

 donné par une équation du premier degré à coefficients 

 entiers : pour un nombre irrationnel donné, ne peut- 

 on s'adresser d'abord aux équations du second degré 

 pour voir s'il en est une qu'il vérifie, puis, si les essais 

 sont infructueux, passer aux équations du troisième, 

 du quatrième degré, et ainsi de suite indéfiniment. Ne 

 finira-t-on pas ainsi, puisque le nombre des essais est 

 illimité, par obtenir une équation algébrique définis- 

 sant l'irrationnelle et permettant de l'étudier ? Ce 

 raisonnement, si c'en est un, ne serait pas accepté, 



