156 NOTICE HISTORIQUE 



hâtons-nous de le dire, par les bons esprits. Legendre, 

 en reprenant dans sa Géométrie la démonstration que 

 Lambert a donnée de l'incommensurabilité de - et en 

 l'étendant au carré de ce nombre, ajoute en termi- 

 nant : 



« Il est probable que le nombre r. n'est même pas com- 

 pris dans les irrationnelles algébriques, c'est-à-dire qu'il 

 ne peut être la racine d'une équation algébrique d'un nom- 

 bre fini de termes dont les coefficients soient rationnels : 

 mais il paraît difficile de démontrer rigoureusement celte 

 proposition. » 



C'est à un géomètre français, Liouville, qu'on doit 

 la première démonstration connue de ce fait qu'en 

 dehors des irrationnelles algébriques, il peut en exis- 

 ter une infinité d'autres, que nous appellerons désor- 

 mais nombres transcendants. Généralisant le beau 

 théorème de Lagrange sur les propriétés de périodicité 

 du développement en fraction continue des racines 

 des équations quadratiques, Liouville a démontré une 

 propriété nécessaire du développement de toute irra- 

 tionnelle algébrique en fraction continue. Comme il 

 était facile de construire une infinité d'irrationnelles 

 pour lesquelles cette propriété nécessaire n'a pas lieu, 

 il était ainsi établi qu'il existe des classes étendues de 

 nombres transcendants. 



Depuis Liouville, les belles et philosophiques 

 recherches de M. G. Cantor sur la théorie des ensem- 

 bles nous ont appris que les nombres algébriques ne 

 forment qu'une classe très particulière dans la foule 

 immense des nombres transcendants ; mais cette classe 

 est si dense que l'on comprend très bien la remarque 

 de Legendre et l'extrême difficulté qu'il doit y avoir 

 à établir la preuve qu'une irrationnelle ne peut lui 

 appartenir. 



