ELOGE DE JOSEPH BERTRAND. XXXI 



Monlucla la comparait irrévérencieusement à ces mines que 

 l'on abandonne parce que le produit n'en paierait pas le tra- 

 vail. 



Euclide, dans le xiii'^ livre de ses Éléments, et Legendre, 

 dans sa Géométrie, avaient rigoureusement établi que les cinq 

 solides de Pythagore sont les seuls polyèdres réguliers qu'il 

 soit possible de former. Poinsot, en supprimant pour les 

 polyèdres la condition d'être convexes, eut ici, comme dans 

 la théorie des couples, la gloire d'attacher son nom à une 

 découverte impérissable, et de nous faire connaître quatre 

 solides réguliers nouveaux. 



Cette découverte eut un grand retentissement. Son auteur, 

 quand il la publia en 1810, avait appelé l'attention sur l'uti- 

 lité qu'il y aurait à la compléter et à rechercher s'il existe 

 encore d'autres solides réguliers. Cauchy, alors à ses débuts, 

 entra dans la lice et publia sur ce sujet, en 1813, deux 

 Mémoires dignes de son génie. Dans le premier, il établit que 

 les trois dodécaèdres et l'icosaèdre nouveaux, découverts par 

 Poinsot, épuisaient, avec les polyèdres de Pythagore, la série 

 des corps réguliers. 



Le résultat était important, la démonstration rigoureuse. 

 Mais elle exigeait une grande attention et l'emploi de modèles 

 en relief. 



Bertrand, que tant de liens d'affection et d'admiration rat- 

 tachaient à Poinsot, revint sur cette belle question et donna 

 la démonstration la plus élégante du théorème de CaucJiy, 

 Elle repose sur le lemme suivant : 



« Les sommets de tout polyèdre étoile doivent être aussi les 

 sommets d'un polyèdre régulier convexe. 



« Il n'y a'donc qu'à prendre les cinq Polyèdres de Pythagore 

 et à chercher quels polygones réguliers on peut obtenir en 

 groupant convenablement leurs sommets : ces polygones régu- 

 liers sont les faces des polyèdres cherchés. » 



La découverte de Poinsot acquiert ainsi toute sa valeur et 

 peut être mise à la portée de tous. Ces résultats intéresseront 

 tous ceux qui attachent encore de l'importance à la beauté 

 des formes géométriques. 



Messieurs, l'énumération rapide que je viens de faire des 

 principales découvertes de Bertrand n'a pu vous donner une 



