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Dimensionen darstellen Avürde, die an der Oberfläche irgend 

 eines unserer festen Körper leben und nicht die Fähigkeit 

 haben, irgend etwas ausserhalb dieser Oberfläche wahrzu- 

 nehmen, indem er von der Annahme ausgeht, dass es uns als 

 Bewohnern eines Raumes von drei Dimensionen möglich ist, 

 uns die verschiedenen Arten, in denen flächenhafte Wesen 

 ihre Rauravorstellungen ausbilden, zur Anschauung zu bringen 

 und deren sinnliche Eindrücke uns auszumalen, während wir 

 Räume von mehr als drei Dimensionen nicht mehr anschauen 

 können, da alle unsere Mittel sinnlicher Wahrnehmung sich 

 nur auf einen dreidimensionalen Raum erstrecken. Was wird 

 dann aus den Axiomen unserer Geometrie, dass es zwischen 

 zwei Punkten nur eine kürzeste Linie, die gerade Linie, giebt, 

 dass durch drei nicht in gerader Linie liegende Punkte des 

 Raumes eine Fläche gelegt werden kann, in welche jede, zwei 

 ihrer Punkte verbindende gerade Linie ganz hineinfällt, und 

 die eine Ebene genannt wird, dass endlich, wenn zwei in der- 

 selben Ebene liegende und sich niemals schneidende Linien 

 als parallel bezeichnet werden, durch einen ausserhalb einer 

 geraden Linie liegenden Punkt zu dieser nur eine einzige 

 parallele Gerade gelegt werden kann, und was wird aus all' 

 den andern Axiomen, welche die Continuität der geometrischen 

 Gebilde u. s. w. betreffen? Jene Flächen wesen würden eben 

 falls im Allgemeinen kürzeste Linien zwischen je zwei Punkten 

 ziehen können, die jedoch nicht nothwendig gerade Linien 

 wären, und welche Helmholtz geradeste Linien nennt, aber 

 schon in dem einfachsten Falle der Kugel würden zwischen 

 je zwei Polen sich unendlich viele geradeste Linien legen 

 lassen, parallele geradeste Linien würde man gar nicht ziehen 

 können, und die Summe der Winkel im Dreieck würde von 

 zwei Rechten verschieden sein; jene Wesen würden den Raum 

 ebenfalls unbegrenzt, aber endlich ausgedehnt flnden, und bei 

 der Ausbildung einer Geometrie würden sie andere geometrische 

 Axiome haben als wir, aber sie könnten noch immer ihre 

 Raumgebilde beliebig auf der Kugel verschieben, ohne deren 

 Dimensionen zu ändern. Doch auch diese Eigenschaft geht 



