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im Allgemeinen auf jedem andern Köi-per verloren , da nur 

 solche Flächen eine derartige Verschiebung gestatten, welche 

 in allen Punkten eine constante Krümmung besitzen, von 

 denen die einer constanten positiven Krümmung durch Biegung 

 ohne Dehnung und Zerreissung auf einer Kugel sich abwickeln 

 lassen und sphärische Flächen, diejenigen einer constanten 

 negativen Krümmung pseudosphärische Flächen genannt werden. 

 Die analytische Untersuchung von Flächen der letzteren Art 

 ergiebt, dass die geradesten Linien sich unendlich verlängern 

 lassen, ohne wie bei der Kugel in sich zurückzulaufen, 

 und dass wie in der Ebene zwischen zwei gegebenen Punkten 

 immer nur eine kürzeste Linie möglich ist; aber die Gültig- 

 keit des Parallelenaxioms hört hier auf, da sich durch einen 

 Punkt ausserhalb einer geradesten Linie unendlich viele solcher 

 Linien legen lassen, welche auch in's Unendliche verlängert 

 die erstere nicht schneiden. Die drei oben angeführten 

 Axiome sind somit nothwendig und hinreichend, um die Fläche, 

 auf welche sich die Euclid'sche Geometrie bezieht, im Gegen- 

 satz zu allen andern Raumgebilden zweier Dimensionen als 

 Ebene zu charakterisiren. Treten wir nun in den Raum mit 

 drei Dimensionen ein und vergleichen denselben, als ein Gebiet 

 von Grössen betrachtet, in welchem die Lage eines jeden 

 Punktes durch drei Abmessungen bestimmt werden kann, mit 

 andern ebenfalls dreifach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten, wie 

 sie z. B. die räumliche Darstellung des Systems von Farben 

 liefert, um zu untersuchen, ob specielle charakteristische Eigen- 

 schaften unserm Räume zukommen, so zeigt sich in der That, 

 dass derselbe noch besondere Bestimmungen enthält, welche 

 bedingt sind durch die vollkommen freie Beweglichkeit der 

 festen Körper mit unveränderter Form nach allen Orten hin 

 und durch den besonderen Werth des Krümmungsmasses. 

 Dieses ist für den thatsächlich vorliegenden Raum gleich Null 

 zu setzen — so wie es unter allen Flächen für die Ebene 

 allein und die auf diese abwickelbaren Flächen gleich Null 

 wird — um den Euclid' sehen Axiomen von der Eindeutig- 

 keit der kürzesten Linie und von den Parallelen Genüge zu 



