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leisten; wäre letzteres von Null verschieden, so würden Drei- 

 ecke von grossem Flächeninhalte freilich eine andere Winkel- 

 summe haben als kleine, aber das Resultat der geometrischen 

 und astronomischen Messungen, welche uns di^ Winkelsumme 

 eines Dreiecks nur nahezu und nie streng gleich zwei rechten 

 Winkeln ergeben können, berechtigt uns offenbar nur zu 

 schliessen, dass das Krümmungsmass unseres Raumes sehr 

 klein ist; dass es in Wirklichkeit verschwindet, lässt sich nicht 

 beweisen, es ist ein Axiom. Helmholtz geht aber weiter; 

 er zeigt, dass wir uns den Anblick einer sphärischen, einer 

 pseudosphärischen Welt, begrifflich entwickelt nach Analogie 

 der oben charakterisirten Flächen, nach allen Richtungen hin 

 ausmalen können, dass also die Axiome unserer Geometrie 

 durchaus nicht in der gegebenen Form unseres Anschauungs- 

 vermögens begründet sein können, ja er macht es durch Ab- 

 bildungsbetrachtungen plausibel, dass, wenn unsere Augen mit 

 passenden Convexgläsern bewaffnet wären, uns der pseudo- 

 sphärische Raum verhältnissmässig gar nicht sehr fremdartig 

 erschiene, und dass wir nur in der ersten Zeit bei der Ab- 

 messung der Grösse und Distanz fernerer Gegenstände Täu- 

 schungen unterworfen sein würden. 



Diese Untersuchungen bildeten zum Theil den Inhalt 

 einiger in Heidelberg im Jahre 1868 gehaltenen Vorträge, 

 und zwanzig Jahre später kommt er in seinen Arbeiten über 

 die erweiterte Anwendung des Fechn er 'sehen Gesetzes und 

 über kürzeste Linien im Farbensystem auf seine und Rie- 

 mann's Ergebnisse wieder zurück, nach welchen 'sich alle 

 Eigenschaften der besonderen Art unseres Raumes darau.s ab- 

 leiten lassen, dass man den Werth der Entfernung zweier 

 benachbarter Punkte durch die zugehörigen Incremente der 

 Coordinaten ausdrücken kann, und somit von der Entfei'nung 

 zweier Punkte eines festen Körpers verlangt, dass sie durch 

 die Lage ihrer Endpunkte vollkommen gegeben sei und gleich 

 bleibe bei allen möglichen Verschiebungen und Wendungen 

 des festen Körpers. Indem er davon ausgeht, dass jede be- 

 sondere Farbe sich herstellen lässt durch die Vereinigung der 



