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entweder durch die Massen und Bewegungen des Systems, 

 von welchem sie ausgeübt wird, oder bei der dynamischen 

 Messung durch die Massen und die Bewegung des Systems, 

 auf welches sie wirkt, oder endlich bei der statischen Methode 

 der Kraftmessung dadurch, dass wir die Kraft mit bekannten 

 Kräften in's Gleichgewicht bringen. Es bleibt somit nur die 

 Frage 7a\ beantworten, wann können wir Grössen durch be- 

 nannte Zahlen ausdrücken, und was wird damit an thatsäch- 

 lichem Wissen erreicht? Und zu dem Zwecke werden nun die 

 für die Physik so interessanten und wichtigen Betrachtungen 

 angestellt über physische Gleichheit und über das Commuta- 

 tions- und Associationsgesetz physischer Verknüpfungen, wobei 

 die Addition als eine solche von Grössen gleicher Art definirt 

 wird, deren Ergebniss nicht geändert wird durch Vei-tauschung 

 der einzelnen Elemente unter sich oder durch Vertauschung 

 der Glieder mit gleichen Grössen gleicher Art. Bei der Ein- 

 führung der irrationalen Verhältnisse endlich, welche an reellen 

 Objecten vorkommen, in Zahlen aber nie genau dargestellt, 

 sondern nur zwischen beliebig nahen Grenzen eingeschlossen 

 werden können, stellt sich Helmholtz lediglich auf den 

 Standpunkt des Physikers, indem er bei der Behandlung der 

 Functionen irrationaler Grössen erklärt, dass wir in der Geo- 

 metrie und Physik noch nicht solchen discontinuirlichen 

 Functionen begegnet sind, zu deren Berechnung die Kenntniss 

 der hinreichend eng gezogenen Grenzen, zwischen denen der 

 irrationale Werth liegt, nicht genügt; freilich kennt der Mathe- 

 matiker auch Functionen anderer Art, und die neuesten Unter- 

 suchungen Boltzmann's scheinen solchen analytischen Ge- 

 bilden auch eine Existenz in der Physik zuweisen zu wollen. 

 Indem wir uns nun zu dem weitaus schwierigeren Theile 

 unserer Aufgabe, zur Darlegung der Verdienste Helmholtz's 

 um die analytische Mechanik wenden, um die durch einige 

 seiner glänzendsten Arbeiten erfolgte theilweise Umgestaltung 

 der Principien derselben erkennen zu lassen, wird es nöthig 

 sein, die Wege genauer zu verfolgen, die ihn durch die grosse 

 Reihe bewundernswerther mathematisch -physikalischer Unter- 



