148 Sur la Stabilite de I'Equilibre des Figures Pyrifovmes. 



The numerical solution of the equation furnished by the vanishing 

 of the coefficient corresponding to the third zonal harmonic shows that 

 the critical Jacobian ellipsoid is such that its axes are proportional to 

 0-65066, 0-81498, 1-88583; and that the angular velocity w and 



w 2 

 density p of the liquid are connected by the equation - = 0-14200. 



This ellipsoid is the longest stable figure of Jacobi's series. A figure 

 of the deformation of this critical ellipsoid by the third zonal harmonic 

 is delineated in a plate. The so-called pear-shaped figure is seen to 

 be longer than was indicated by M. Poincare in his conjectural sketch. 

 Although this figure is almost certainly stable, absolute proof is 

 still wanting. This proof can only be obtained by proceeding to a 

 higher degree of approximation. An attempt is made to obtain this 

 higher approximation, and the cause of failure and the difficulties of 

 the problem are discussed. 



" Sur la Stabilite de 1'Kquilibre des Figures Pyrifonnes aftectees 

 par une Masse Fluide en Flotation." By H. POIXCARE, 

 Foreign Member R.S. Received October 29, 1901. 



(Abstract.) 



J'ai public autrefois dans le Tome 7 des ' Acta Mathematics ' un 

 memoire oil j etudie di verses figures d'equilibre nouvelles d'une masse 

 fluide homogene en rotation, Presque toutes ces figures sont instables ; 

 une d'elles cependant, qui est pyriforme, est tres probablement stable. 

 Mais la preuve directe de cette Stabilite ne pourrait etre obtenue que 

 par de longs calculs. Le but du present travail est de faciliter ces 

 calculs, en donnant a la condition de Stabilite une forme analytique 

 aussi simple que possible. La question cependant reste indecise, parce 

 que les formules analytiques n'ont pas e'te reduites en chiffres. 



II fallait d'abord obtenir une expression de 1'energie de gravitation 

 d'une pareille figure en poussant 1'approximation plus loin qu'on ne 

 1'avait fait jusqu'ici. L'emploi des fonctions de Lame peut conduire 

 au resultat, mais on se trouve en presence d'une petite difficulte. Le 

 potentiel d'un ellipsoide, ou d'une couche ellipsoidale, afFecte des 

 formes analytiques differentes selon que le point envisage est a 1'in- 

 terieur ou a 1'exterieur de Fellipsoide. II en results que dans chacune 

 des integrates il faudrait donner a la fonction sous le signe J, tantot 

 une forme pour les parties de la surface pyriforme qui sont au dessous 

 de la surface de 1'ellipsoide, tantdt une autre forme pour les parties 

 qui sont au dessus. Mais j'ai reconnu que cette difficulte est purement 

 artificielle et qu'on obtiendra encore un resultat final correct en 



