370 POUi: L HISTOIRE DE LA SCIENCE HELLENE. 



l'idée d'appliquer à la démonstration des vérités arithmétiques les 



procédés déjà en vigueur, depuis plus ou moins longtemps, pour 

 la géométrie est-elle seulement venue à quelque mathématicien 

 postérieur? Il est bien difficile de se prononcer. 



D'un côté, l'ordre même suivi par Euclide, le rejet de l'arithmé- 

 tique après la géométrie, est absolument contraire à la tradition 

 pythagorienne, et il ne semble pouvoir s'expliquer que si la partie 

 des Éléments relative aux nombres a été, dans le corpus antérieur 

 refondu par leur auteur, une addition faite depuis l'origine de ce 

 corpus. D'autre part, Aristote connaît comme pythagorienne, pour 

 l'incommensurabilité de la diagonale et du côté d'un carré, une 

 démonstration qui se faisait en prouvant que la commensurabilité 

 exigerait qu'un même nombre fût à la fois pair et impair. Or cette 

 démonstration, qui d'ailleurs se retrouve encore aujourd'hui dans 

 Euclide, suppose sur les nombres certaines notions qui ont pu, dès 

 l'origine, être établies avec l'appareil géométrique et se trouver 

 ainsi intercalées à une place n'ayant aucun rapport avec leur 

 caractère primordial. Le noyau formé par ces notions aura pu être 

 successivement grossi par les auteurs géométriques, depuis Hippo- 

 crate de Chios jusqu'à Euclide. 



Quoi qu'il en soit, on doit constater: 1° que la façon dont Euclide 

 a traité l'arithmétique ne peut aucunement être regardée comme 

 une tradition pythagorienne; 2° que le cadre qu'il a rempli a sans 

 doute, sUr certains points, dépassé les connaissances de l'École, 

 car, même en admettant, par exemple, qu'elle se soit occupé» * des 

 nombres parfaits, abondants ou déficients (*), il est invraisem- 

 blable que la construction euclidienne du nombre parfait ait été 

 connue au temps de Platon; 3° qu'au contraire ce cadre laissait 

 en dehors nombre de questions dont les pythagoriens s'étaient 

 certainement occupés, ainsi que je le montrerai plus loin, notam- 

 ment celles relatives aux sommations, nombres polygones, pyrami- 

 daux, etc.; 4° que par conséquent il y avait pendant la période 

 hellène, au moins au iv siècle, une façon de traiter l'arithmétique 

 différente de celle qui devint, chez les mathématiciens, classique 

 après Euclide, et que cette façon fut, dans la suite, attribuée aux 

 pythagoriens. 



2. Vers la fin du I er siècle de notre ère, la tradition relative à ce 



(') Le nombre par&il est celui qui es! égal à la somme il»' ses diviseurs, 

 comme G, 28, 490; le déficient est te nomme phii grand que cette somme, 

 l'abondant, le nombre plus petit. 



