29 



Voor den grenshoek van de bladstellingen van de hoofdreeks, dat is voor 

 l37°30'28' = 2Tza2i) is de te geven verklaring nauwkeurig, maar het bereiken van 

 deze grens zou alleen bij oneindig kleine bladprimordiën met het principe van de 

 loodrechte snijding der spiralen kunnen gepaard gaan. Daar nu de werkelijke blad- 

 stellingen wel voldoen aan het principe der loodrechte snijding, maar uitgaan van 

 eindige primordiën, kan in de divergenties het logarithmische principe slechts bij 

 benadering 2) verwacht worden, dat wil zeggen, dat de genoemde grenshoek nooit 

 nauwkeurig kan optreden, waarin echter ook juist de verklaring van het voorkomen 

 van de lagere termen der hoofdreeks gelegen is. Tevens blijkt daaruit, dat het prin- 

 cipe van de loodrechte snijding voor de plant dwingender is dan het logarithmische, 

 wat ook volgt uit het bestaan van de eerste bijreeks en vele andere bladstellingen; 



De limietdriehoeken en de hyperbolische funkties. 



De rechthoekige limietdriehoek van de hoofdreeks, verkregen door uitsprei- 

 ding van het cylindervlak, waarop deze bladstellingen voorkomen, op het platte 

 vlak en beantwoordende aan de elkander rechthoekig snijdende schroeflijnen, waarin 

 de bladen kunnen staan, heeft tot hypothenuse de éénheid en tot rechthoekzij den 

 ^y a en a, waaruit volgt 



W a)ï + [\/(l — «)]2 = a -f a2 = 1. 



1) Evenals H. A. N a b e r, Das System des Pythagoras, Haarlem, Visser 

 1908, noem ik het grootste stuk van de in uiterste en middelste reden verdeelde éénheid 

 a, zoodat 



a =. 1/2 (_ 1 4- y' 5) = 0.618034. . . 

 a2= 1—0 = 1/2(3 — y/ 5) = 0.381966... ' 

 a3 = 2a — 1 = -y/ 5—2 = 0.236068. . . enz. 



Het kleinste stuk van den in u. en m. r. verdeelden cirkelomtrek, dus de grenshoek van 

 de hoofdreeks, is 



2 TC a2 = (3 — y/S) TC = 2.40005. . . = 137°30'28'' = x- 



2 -{- a 

 De hoofdreeks der bladstellingen is 



112 3 5^ 1 1 . 



= a2 = 2 TT. 



00 



^2 3 5 8 13 °° 2 + a (1 + a)l 



De eerste bij reeks is 



2 1 2 ^ _5_ o? _ !_ 12 TT 



3*4' 7' 11' 18 '" °° 3 + a) 



De tweede bijreeks is 



112 3 5 



00 



4 5 9 14 23 °° 4 + a 



2 TT enz. 



2) De naaste mij in het plantenrijk bekende toenadering tot den grenshoek, en daarvan 

 slechts in deelen van seconden verschillend, vindt men in de divergentie van de bloem- 

 hoofd j es van Cynara, Buphthalmum en zonnebloem met de loodrecht op elkander staande 

 logarithmische spiralen (89 + 144). Bij Carduus nutans vond ik (55 -|- 89); in de kegels 

 van Pinus pinea komt, volgens Delpino (13 + 21) loodrecht voor, dus slechts be- 

 gintermen van de oneindige hoofdreeks. 



