31 



eenkomstige waarden van de lagere termen der hooldreeks in de plaats te stel|en, 

 waarop ik beneden terugkom. 



Voor het juiste begrip van den logarithmischen hoek en zijn complement is 

 het volgende belangrijk. 



Het supplement van den logarithmischen hoek 180° — 51°49'38'' is 128°10'22'. 

 TDit is een zeer merkwaardige hoek, want het is de divergentie, welke beantwoordt 

 aan het drievoudige contact (1+2 + 3) in de constructie met logarithmische 

 spiralen, dat is aan de door van Iterson (l.c. pag. 126, 132, 327) geconstrueerde 

 en door een benaderingsmethode berekende, logarithmische afbeelding van de bol- 

 zuil van Delpinoi). Van deze divergentie is derhalve de cosinus = — a waaruit 

 de logarithmische hoofdspiraal kan berekend worden. Want noemt men q 2) de 

 verhouding van twee voerstralen, die met elkander den hoek 128°10'22'' = a maken, 

 dan gelden voor het drievoudig contact (1 +2 + 3) de twee volgende formules 3) 



cos 1/2 a 1 + ? cos a 1 + ? 



"—= y/ q en = ^^ q, 



cos a 1+^2 cos 3/2 a 1 + q^ 



waaruit 9= 1+a + v'' (!+«)= 2.890. . . 



1 



en -' = 1 + a — ^/ (1 + rt) = 0.346. . ., 



1 



terwijl van Iterson vindt— = 0.346013. . . 



De logarithmische beteekenis ook van deze formule springt in het oog, wan- 

 neer men bedenkt, dat 1 + a de secans en -y/ (1 + a) de tangens van den logarithmi- 

 schen hoek 51°48'88'' is, terwijl de waarde van x, voortvloeiende uit de formule 



1 



1 + x — ^{\ + X) 



1 + X + ^/ {\ + X) 



— a is, zoodat dit een bijzondere manier blijkt te zijn om a te vinden. 



Hieraan moge nog het volgende worden toegevoegd. 



Indien drie willekeurige maar ongelijke cirkels elkander uitwendig raken en 

 men construeert in de driezijdige tusschenruimte een vierden raakcirkel, daarna 

 een vijfden in de tusschenruimte van de drie kleinste en zoo vervolgens, dan ver- 

 krijgt men spoedig goede benaderingen van, en na een oneindig aantal sprongen 

 nauwkeurig den oneindig kleinen „natuurlijken logarithmischen" driehoek, waar- 



1) F. D e 1 p i n o, Teoria generale della Fillotassi, Genova 1883. De divergentie van 

 de bolzuil zelve is are cos — 2/3 — 13r48'37' of ongeveer ■•/n en behoort dus tot de hooïd- 

 reeks, omdat daartoe alle breuken moeten gebracht worden waarvan de teller 2 tot 3 keer 

 in den noemer gaat. Bij de plant is de hoofdreeks gekenmerkt doordat daarbij meestal 2, 

 bij den bladstand 1/3 drie bladen, op één cirkelomtrek staan. Van kransvormige bladstellingen 

 wordt hierbij afgezien. 



2) van Iterson noemt dit „das Hauptverhaltnis" en gebruikt daarvoor de letter 

 a, terwijl mijn a = 1/2 ( — 1 + -y/ 5) is. 



3) van Iterson, l.c. pag. 116. 



