33 



waarin ^i = i), zoodat 24°29'32'' op overeenkomstige wijze een „transcendentale 



180°— 137°30'28' 

 hoek" is van het halve supplement van den gjrenshoek, dat is van 



2 



137°30'28' 



= 21°14'46'', als 47°30'28'' dit is van den halven grenshoek zelf, d.i. van = 



2 



= 68°45'14'. 



Hiermede beschouw ik het verband van den grenshoek der hoofdreeks met 

 de natuurlijke logarithmen, dus met de groeifunktie van het vegetatiepunt, als be- 

 wezen. 



Het principe der loodrechte snijding. 



De kracht, welke ik aanneem als werkzaam in het eerste stadium der blad- 

 vorming, is mechanische spankracht, hetzij als weefselspanning of als turgorkracht. 

 Bij de hoogere planten ontstaat deze weefselspanning door iets snelleren groei van 

 het dermatogeen en de buitenlaag van het peribleem dan van het pleroom, waarmede 

 zij onwrikbaar verbonden zijn. In de driezijdige topcel van den mosknop moet de 

 turgorkracht alleen als de reguleerende factor beschouwd worden. De twee elkander 

 loodrecht snijdende logarithmische spiralen beantwoorden aan de twee ontbondenen 

 van de spankracht in de twee loodrecht op elkander staande richtingen, zooals men 

 dit ook in geheel andere gevallen in de natuur kan waarnemen en waarvan ik enkele 

 voorbeelden zal noemen. Vooraf wil ik echter nog opmerken, dat ook C h u r c h 

 en van Iterson de groote beteekenis van het principe der loodrechte snijding 

 hebben opgemerkt, dat het in het boek van C h u r c h zelfs een hoofdrol speelt en 

 dat van Iterson getracht heeft (l.c. pag. 240) daarvan een verklaring te 

 geven, welke geheel en al van de mijne verschilt. Daar de hoek verplaatsingen door 

 den groei bij het tot stand komen van de definitieve bladstelling in vele gevallen zeer 

 gering zijn, blijft de loodrechte snijding der spiralen vaak ook nog in de latere ont- 

 wikkelingsstadién zichtbaar. Zoo is de kwadratische stand van de schubben, zelfs in 

 de jijpe kegels van Pinus sylvestris zeer opvallend. Maar men ziet dezen stand ook 

 onmiddellijk in de plaatsing van de bloemen en vruchten in de hoofdjes der Com- 

 positae zooals bij de zonnebloem, de paardebloem etc. Buitengewoon geschikt om 

 dit principe te demonstreeren, zijn verder de houtskeletten van de bladrozetten van 

 vele tweejarige planten, zooals Campanula medium, Oenothera biennis, Verbascum 



1) De waarde van '^ is ongeveer 0.9446. Ik gebruikte C. B u r r a u, Tafeln der Funk- 

 tionen Cosinus und Sinus, Berlin 1907, waarin de waarden van de hyperbolische-cosinus 

 en -sinus zelve zijn opgegeven en W. L i g o w s k y. Tafeln der Hyperbelfunktionen, 

 Berlin 1890, waarin de bij <if behoorende transcendentale hoeken zelve worden opgegeven, 

 maar al het overige in logarithmen. 



Daar ^ de natuurlijke log van een tangens is, zou de aanschouwelijkheid der tafels 

 zeer verbeteren, wanneer daarin ook de hoek zelve, waartoe deze tangens behoort, werd 

 opgegeven, zooals ik dit voor 68°45'14' heb gedaan. Deze hoek zou dan de primaire hoek 

 kunnen genoemd worden, zoowel van den bijbehoorenden transcendentalen hoek, als 

 van zijn eigen hyperbolischen hoek, en van den hoek, waarvan de booglengte = 4» is. 

 M. W. Beijerinck, Verzamelde Geschriften; Zesde Deel. 3 



