II. - § 4. Varie serie di numeri 241 



concezione della geometria che primitivamente avevano 

 i pythagorici, portava necessariamente con sé Γ incom- 

 prensibilità delle quantità incommensurabili; 

 ma queste, essendo state riconosciute ben presto dai py- 

 thagorici, appunto per questo rimasero per lungo tempo 

 nel sistema quale un impedimento ed un vero scandalo 

 logico. 



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I pythagorici non si limitarono alle considerazioni 

 aritmetiche sopra rammentate. Essi presero anche a for- 

 mare nuove serie, ad es. quelle dei numeri quadrati. 

 Sebbene la cosa sia implicita nella formula per la serie 

 dei numeri dispari (7) è utile notare come disponendo 

 sotto questa serie quella dei numeri dispari, comincian- 

 dola da 3, si ottenevano, sommando rispettivamente i 

 termini sovrapposti, i numeri quadrati successivi a quelli 



g ο r i e i avevano sul punto e sulle figure le idee che sopra 

 ho affermato. 



(7) Una tale somma equivale ad aggiungere ad una 

 somma ottenute con la serie dei numeri dispari, terminata 

 ad un dato termine, il termine successivo, che veniva ad 

 essere il gnomone (vedi appresso) del numero antecedente. 

 Infatti 



[1+3+5 -f (2 w— i)] -f [2. η-{•ι) = n- + {2. n-j-i) =(»+i)^ 



In tal senso Theon di S m y r η a i (p. 32) ci espone 

 la regola : πάλιν δε ot έξης περισσοί άλλήλοις έπισυν- 



τιθέμενοι τετραγώνους ποιοϋσιν αριθμούς οίον 



το εν πρώτον τετράγωνον • εστί γαρ άπαξ εν εν. είτα 

 περισσός ό γ', τοΰτον αν προσθης τον γνώ μονά τω 

 ένί, ποιήσεις τετράγωνον ίσάκις Ί'σον • έσται γάρ κατά 

 μήκος β' και κατά πλάτος β', εφεξής περισσός ό ε' * 

 τοΰτον αν περισθής τον γνώμονα τω δ' τετραγώνω, γενή- 

 σεται πάλιν τετράγωνος ό θ', καί κατά μήκος έχων γ' 



καΐ κατά πλάτος γ' ό δέ αυτός λόγος μέχρις 



απείρου. 



Mieli ι6 



