248 Ι numeri perfetti secondo EukUides II. 



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caso non collimerebbe, nel senso, a quello che si do- 

 vrebbe attribuirgli secondo la definizione precedente. Si 

 aggiunga che anche Platon in un suo passo (16) intende 

 in modo del tutto differente l' espressione di numero 

 perfetto. Anche Aristoteles, parlando delle teorie py- 

 thagoriche ricorda come perfetto il numero dieci (17). 



Ma queste ragioni, d'altra parte, non hanno un va- 

 lore assoluto ; infatti ai tempi di Eukleides la nozione 

 di numero perfetto doveva essere già da lungo 

 tempo conosciuta, ed il fatto ci viene confermato dal 

 modo dettagliato col quale il grande geometra se ne 

 occupa (18). In un suo teorema Eukleides dà anche 

 una regola per trovare dei numeri perfetti. Egli infatti 

 dimostra la seguente proprietà (appena accennata nel 

 passo di Theon che sopra ho riportato) (19) : 



« Se facciamo la somma di tutti i numeri che otte- 

 niamo partendo dall' unità e raddoppiando continua- 

 mente, ed otteniamo una somma totale rappresentata 

 da un numero primo, moltiplicando questa per Γ ultimo 

 numero che ha concorso a formarlo otteniamo un nu- 

 mero perfetto ». 



In simboli moderni la proposizione si può esprimere 

 nel modo seguente : Se facciamo la somma 



η = ρ — Ι 



2" c= 2/" Ι 



η =z ο 



(ι 6) Republ. Vili, 54^• 



(17) Vedi il passo citato nel § 9, n. 4. 



(18) La definizione di Eukleides è {El. VII, def. 22) : 

 τέλειος αριθμός έστιν δ τοις έαυτοΰ μέρεσιν 'ίσος ων. 



(19) Elem., IX, 36 : Έάν άπο μονάδος όποσοιοϋν αριθ- 

 μοί έξης έκτεθώσιν εν τη διπλασίονι αναλογία, έως ού 

 ό σύμπας συντεθείς πρώτος γένηται, καί ό σύμπας έπΙ 

 τον έσχατον πολλαπλασιασθείς ποιη τίνα, ό γενόμενος 

 τέλειος έσται. 



