§ 5. 

 Progressioni e ricerche di incognite. 



Una parte importante nella aritmetica dei ρ y- 

 thagorici è occupata dallo studio delle tre pro- 

 gressioni: aritmetica, geometrica ed ar- 

 monica. Archytas di Taranto in un frammento 

 conservatoci (i) ci dà addirittura la definizione delle tre 

 progressioni : 



« Vi sono tre progressioni nella musica : la 

 prima è Γ aritmetica, in secondo luogo viene la geome- 



(i) Riportato da Porphyrios nel Ptol. harm. p. 267. — 

 Diels, fr. 2: (καΐ άλλοι δέ πολλοί των παλαιών ούτω 

 φέρονται καθάπερ και Λιονύσιος ό Άλικαρνασσεύς κα, 



'Αρχύτας εν τω Περί της μουσικής 'Αρχύτας 



δέ περί των μεσοτήτων λέγων γράφει ταύτα") μέσαι δέ 

 έντι τρις τα μουσικά, μία μεν αριθμητικά, δευτέρα δε 

 γαμετρικά, τρίτα δ' ύπεναντία, αν καλέοντι αρμονι- 

 κά ν. αριθμητικά μέν, δκκα έ'ωντι τρεις δροι κατά τάν 

 τοίαν ύπεροχάν άνά λόγον • φ πρώτος δευτέρου υπερέχει, 

 τωύτώ δεύτερος τρίτου υπερέχει, καί εν ταύτα < τα > 

 αναλογία συμπίπτει είμεν το των μειζόνων όρων δίαστημα 

 μεϊον, το δε τών μ,ειόνων μείζον, γαμετρικά δέ, οκκα 

 εωντι οίος ό πρώτος ποτί τον δεύτερον, καΐ ό δεύτερος 

 ποτΐ τον τρίτον, τούτων δέ οι μείζονες δροι ίσον ποιούνται 

 το διάστημα καί οι μείους. ά δέ ύπεναντία, αν καλοΰμεν 

 άρμονικάν, δκκα εωντι < τοιοι ' φ > ό πρώτος δρος υπερ- 

 έχει του δευτέρου, αύταύτου μέρει, τωύτώ ό μέσος του 

 τρίτου υπερέχει του τρίτου μέρει, γίνεται δέ έν ταύτα τα 

 αναλογία το τών μειζόνων δρων διάστημα μείζον, το δέ 

 τών μειόνων μείον. 



