II. - § 5• Il problema dei medi proporzionali 253 



LAOS alcune considerazioni sulle progressioni armoniche. 

 Questi, studiando i corpi regolari solidi, attribuiva al 

 cubo un posto d'onore ; esso rappresentava infatti 

 l'armonia geometrica e non solamente perchè tutte le 

 sue misure sono uguali fra loro, ma anche perchè il nu- 

 mero degli spigoli, degli angoli e delle facce stanno fra 

 loro in progressione armonica (12 : 8 : 6). 



L' origine delle progressioni è dai greci posteriori attri- 

 buita ai b a b y 1 ο η e s i (3) ; da questi, essi raccontano, 

 le conobbe Pythagoras, il quale poi le di\Tilgò presso il 

 suo popolo. Certo è che i ρ y t h a g ο r i e i si occu- 

 parono molto delle progressioni e non solo con un indi- 

 rizzo di matematica pura, ma anche collegandole a fatti 

 provati sperimentalmente (come quelli del monocordo), ο 

 dandosi in baha ad una speculazione più ο meno mistica, 

 a seconda del caso. 



Dal lato puramente matematico essi si occuparono 

 sicuramente del problema di trovare i medi aritme- 

 tici ο geometrici od armonici fra due numeri dati. Ma 

 nella risoluzione di questo problema, così come in altri, 

 essi si trovarono di fronte a gravi difficoltà, che prove- 

 nivano da un fatto da essi dapprima non previsto, e col 

 quale anzi Γ intiera loro concezione era in pieno con- 

 trasto : Γ esistenza cioè degli irrazionali. 



λολάω άπό του παρέπεσθαι, πάση γεωμετρική αρμονία, 

 γεωμετρικήν δε άρμονίαν φασί, τον κύβο ν άπό του κατά 

 τα τρία διαστήματα ήρμόσθαι ίσάκις Ισα ίσάκις * εν γαρ 

 παντί κύβω ήδε ή μεσότης ένοπτρίζεται, πλευραΐ μεν γαρ 

 παντός κύβου έισί,ν ιβ', γωνίαι δε η', επίπεδα δε <' ' 

 μεσότης άρα 6 η' των ς' και των ιβ' κατά την άρμο- 

 νικήν. 



(3) Confr. Jamblichos ,η Nicom. 118, 23 : εύρημα, 

 δ' αυτήν (della progressione) φασιν είναι Βαβυλωνίων και 

 δια Πυθαγόρου πρώτου εις "Ελληνας έλθεϊν, ευρίσκονται 

 γοϋν πολλοί των Πυθαγορείων αύτη κεχρημένοι ώσπερ 

 Άρισταιος ό Κροτωνιάτης και Τίμαιος ό Λοκρος καΐ 

 Φιλόλαος καΐ 'Αρχύτας οι Ταραντΐνοι καί άλλοι πλείους 

 καΐ μετά ταΰτα Πλάτων εν τω Τιμαίω. 



