254 Impossibilità di trovare certi medi proporzionali II. -§ 5. 



In questo paragrafo (il fatto sarà svolto più am- 

 piamente altrove) limitiamoci ad osservare come essi 

 arrivassero a riconoscere che in certi casi non è possi- 

 bile trovare un numero che risponda alle esigenze richie- 

 ste. E la cosa si deduce chiaramente da un passo di Pla- 

 ton nel quale questi, in occasione di alcune sue elucu- 

 brazioni, accenna chiaramente alla possibilità ο meno di 

 potere stabilire fra due numeri dei medi geometrici. In 

 questo passo il grande filosofo segue certamente cogni- 

 zioni che già erano di uso corrente frai pythagorici. 

 Il suddetto passo si trova nel Timaios ed è di per sé tanto 

 interessante che credo utile riferire ampiamente su di esso. 



Platon, adunque, comincia a considerare il fatto, già 

 correntemente ammesso, che fra gli elementi estremi, il 

 fuoco e la terra, si trovano intercalati due altri 

 elementi di carattere intermedio, Γ a r i a e Γ a e q u a, 

 formando così Γ insieme ben noto dei quattro elementi. 

 Perchè avviene ciò ? e perchè gli elementi estremi non 

 sono invece fra loro collegati da un solo termine inter- 

 medio ? Platon in questo punto, mettendosi comple- 

 tamente dal punto di vista dei pythagorici, almeno nel 

 modo di procedere, crede di potere ridurre la questione 

 ad una questione di aritmetica e ragiona nel modo 

 seguente (4): La terra, il fuoco, Γ aria e Γ acqua sono 



(4) Plat. Tim. 31 e 32 : δύο δε μόνω }<.ιχλώς 

 ξυνίστασθαι, τρίτου χωρίς ου δυνατόν* δεσμον γαρ εν μέσω 

 δει τινά άμφοιν ξυναγωγον γίγνεσθαι, δεσμών δε κάλλιστος 

 δς αν αυτόν και τά ξυνδούμενα δτι μάλιστα εν ποιη. τοΰτο 

 δε πέφυκεν αναλογία κάλλιστα άποτελεϊν. οπόταν γαρ 

 αριθμών τριών ε'ίτε όγκων εϊτε δυνάμεων ώντινωνοΰν 

 η το μέσον, βτιπερ το πρώτον προς αύτο, τοΰτο αυτό προς 

 το εσχατον, καί πάλιν αύθις οτι το έσχατον προς το μέσον, 

 το μέσον προς το πρώτον, τότε το μέσον μεν πρώτον 

 καΐ εσχατον γιγνόμενον, το δ' εσχατον και το πρώτον 

 αΰ μέσα αμφότερα, πάνθ' ούτως έξ ανάγκης τα αυτά είναι 

 ξυμβήσεται, τα αυτά δε γενόμενα άλλήλοις εν πάντα εσται. 

 ε'ι μέν ούν έπίπεδον μεν, βάθος δε μηδέν έχον έδει γίγνε- 

 σθαι το του παντός σώμα, μία μεσότης αν έξήρκει τά τε 



