2 02 Poliedri regolari II. - S 6. 



la terra e Γ aria, ciò che regge la sfera poi è il 

 quinto ». 



Bisogna poi escludere assolutamente che i P3rtha- 

 gorici fossero arrivati a riconoscere l'impossibilità 

 di un sesto corpo regolare (4). 



* 



* * 



Strettamente collegato a quello dei corpi regolari 

 è lo studio delle figure piane che le terminano, ossia 



(4) La dimostrazione dell' impossibilità di sei polie- 

 dri regolari, quella che ancora si usa oggidì, la tro- 

 viamo in EuKLEiDEs (XIII, 18). Credo utile riportare la 

 dimostrazione che si basa sulla somma degli angoli piani 

 che concorrono in ogni vertice. 



Λέγω δή δτι. παρά τα είρημένα πέντε σχήματα ού 

 συσταθήσεται έ'τερον σχήηα περιεχόμενον υπό ισοπλεύρων 

 τε καΐ ίσογωνίων 'ίσων άλλήλοις. 



Ύπο μέν γαρ δύο τριγώνο:)ν ή όλως επιπέδων στερεά 

 γωνία ού συνίσταται, υπό οέ τριών τριγώνων ή της πυρα- 

 μίδας, υπό δέ τεσσάρων ή του όκταέδρου, ύπο δε πέντε ή 

 τοΙ5 είκοσαέδρου* ύπο δε εξ τριγώνων ισοπλεύρων τε καΐ 

 ίσογωνίων προς ένΐ σημείω συνισταμένων ούκ έ'σται στερεά 

 γωνία• οΰσηςγαρ της του 'ισοπλεύρου τριγώνου γωνίας διμοίρου 

 ορθής Ισονται αί εξ τέσσαρσιν όρθαϊς Ί'σαι* όπερ αδύνατον 

 άπασα γαρ στερεά γωνία ύπο ελασσόνων ή τεσσάρων ορθών 

 περιέχεται, δια τά αυτά δή ουδέ υπό πλειόνων ή εξ γωνιών 

 επιπέδων στερεά γωνία συνίσταται, ύπο δέ τετραγώνων 

 τριών ή του κύβου γωνία περιέχεται* ύπο δέ τεσσάρων αδύ- 

 νατον έσονται γαρ πάλιν τέσσαρες όρθαί. ύπο δέ πενταγώ- 

 νων ισοπλεύρων καΐ ίσογωνίων, ύπο μέν τριών ή του δωδε- 

 καέδρου* ύπο δέ τεσσάρων αδύνατον ούσης γαρ της του 

 πενταγώνου ισοπλεύρου γωνίας ορθής καί πέμπτον έσονται 

 αΐ τέσσαρες γωνίαι τεσσάρων ορθών μείζους* δπερ αδύνατον, 

 ουδέ μήν ύπο πολυγώνων έτερων σχημάτων περισχεθήσεται 

 στερεά γωνία δια το αυτό άτοπον. 



ούκ άρα παρά τα είρημένα πέντε σχήματα Ιτερον 

 σχήμα στερεον συσταθήσεται ύπο ίσοπλεύρο^ν τε καί Ισογω- 

 νίων περιεχόμενον βπερ έδει δειξαι. 



