268 Scoperta di quantità irraiionali II. - S 6. 



degli irrazionali, o, per parlare più esattamente, secondo 

 il modo di concepire dei pythagorici e dei successivi 

 matematici greci, con casi nei quali due grandezze non 

 possono venire ambedue misurate con una stessa unità 

 (σύμμετρα), sia avvenuto nella ricerca per determi- 

 nare la lunghezza dell' ipotenusa nel triangolo rettan- 

 golo che ha i due cateti uguali ad uno. Le prime ed in- 

 fruttuose ricerche dovettero essere messe da parte quando, 

 non sappiamo secondo quali contingenze di fatto, i py- 

 thagorici si trovarono ad avere dimostrato che supporre 

 misurabile una tale ipotenusa era una cosa logicamente 

 impossibile. La dimostrazione seguita può essere rico- 

 struita facilmente appoggiandoci ad Aristoteles e ad 

 EuKLEiDES. Aristoteles, parlando nelle prime analy- 

 iiche delle ^^arie specie di sillogismi, viene a trattare 

 delle dimostrazioni per assurdo {14). Di tale specie, egli 

 dice, è il caso nel quale ammettendo che il diametro 

 del quadrato sia commensurabile con i lati, si viene alla 

 conclusione che dei numeri possono essere insieme pari 

 e dispari. In questo caso, dalla conclusione assurda, si de- 

 duce che mia delle premesse è insostenibile. Aristote- 

 les, nel passo citato, accenna appena alla questione. 

 Essa doveva quindi essere bene conosciuta ai suoi tempi. 

 Ora una dimostrazione di tal genere la troviamo in Eu- 

 KLEIDES ; essa non doveva solamente risalire ai tempi 

 di Aristoteles, ma essere forse quella stessa usata da 



(14) A r i s t ο t. Analyt. prof. I, 23 : οτι μεν ουν οι 

 •δειστικοί (σιλλογι,σμοί) πάντες περαίνοντας δια των προ- 

 ειρημένων σχημάτων, φανερόν οτι δε και οι εις το αδύνατον, 

 ^ήλον έσται δια τούτων, πάντες γαρ οί δια του αδυνάτου 

 ττεραίνοντες τό μεν ψευδός συλλογίζονται, το δ' εξ αρχής 

 εξ υποθέσεως δεικνύουσιν, δταν αδύνατον τι συμβαίνη 

 της αντιφάσεως τεθείσης, οίον οτι ασύμμετρος ή διάμετρος 

 δια το γίνεσθαι τά περιττά 'ίσα τοις άρτίοις συμμέτρον 

 τεθείσης, το μεν ούν 'ίσα γίνεσθαι τα περιττά τοις άρτίοις 

 συλλογίζεται, το δ' άσύμμετρον εΤναι την διάμετρον εξ 

 υποθέσεως δείκνυσιν, έπεί ψευδός συμβαίνει δια την 

 άντίφασιν. 



