II. - § 6. Irrazionalità di \/ 2. 269. 



quei pythagorici, che, con loro grande meravi- 

 glia, si imbatterono per primi nell' irrazionale. In 

 mancanza di un documento diretto che ci affermi ciò, la 

 cosa può venire assolutamente creduta e per la semplicità 

 della dimostrazione, per il suo uso comune al tempo dello 

 Stageirita, e per il fatto infine che altre dimostrazioni non 

 erano allora conosciute. La dimostrazione che troviamo 

 in EuKLEiDES ha una tale importanza storica che credo 

 opportuno riportarla per intiero nell'originale, in nota. 

 Nel testo seguo la stessa dimostrazione semplificandola 

 nel senso che uso i simboli moderni e la notazione let- 

 terale, e invece che di rette, come facevano i greci, 

 parlo di numeri (15). 



Si abbia il triangolo rettangolo isocele i cui cateti 

 hanno la lunghezza uno. Supponiamo che Γ ipotenusa sia 

 commensurabile con i cateti, ossia che esista una unità 

 di misura, per quanto piccola, che sia contenuta un 

 numero intiero di volte sia nei cateti, sia nell' ipotenusa. 

 Se ciò avviene, siano λ e δ i numeri che secondo questa 



(15) E u k 1. X Appena. 27 {Ad. libr. X prop. 115). (Ed. 

 Η e i b e r g, Lipsiae) : 



Προκείσθω ήμϊν δεϊξαο, ότι επί των τετραγώνων 

 σχημάτων ασύμμετρος έστιν ή διάμετρος τ^ πλευρά μήκει. 



"Εστω τετράγωνον το ΑΒΓΔ, διάμετρος δε αύτοΰ ή 

 ΑΓ• λέγω, δτι ή ΓΑ ασύμμετρος έστι τη AB μήκει. εΐ 

 γαρ δυνατόν, έστω σύμμετρος• λέγω, δτι συμβήσεται τόν 

 αυτόν αριθμόν άρτιον είναι και περισσόν. φανερον μεν ούν, 

 δτι το άπο της ΑΓ (= il quadrato costruito su ΑΤ\ 

 διπλάσιον του άπο της AB. καί έπεί σύμμετρος έστιν ή 

 ΓΑ τη AB, ή ΓΑ άρα προς την AB λόγον έχει, δν αριθμός 

 προς αριθμόν, έχέτω, δν ό ΕΖ προς Η, καί εστωσαν οΐ 

 ΕΖ, Η ελάχιστοι των τον αυτόν λόγον εχόντων αύτοϊς' 

 ουκ άρα μονάς έστιν 6 ΕΖ. ει γαρ έσται μονάς ό ΕΖ, έχει. 

 δε λόγον προς τον Η, δν έχει ή ΑΓ προς την AB, καί μείζων 

 ή ΑΓ της AB, μείζων άρα καί ή ΕΖ του Η αριθμού" δπερ 

 άτοπον, ούκ άρα μονάς έστιν ό ΕΖ• αριθμός άρα. καΐ έπεί, 

 έστιν ώς ή ΓΑ προς την AB, ούτως ό ΕΖ προς τον Η, καΙ 

 ώς άρα το άπο της ΓΑ προς το άπο της AB, ούτως ό άπο 



