270 Irrazionalità di \/ 2. II. - S 6. 



unità misurano rispettivamente i cateti e Γ ipotenusa ; 

 supponiamo ancora, cosa che si può sempre fare, che 

 a G b siano primi fra loro, ossia che il rapporto a\h sia 

 stato ridotto alla sua più semplice espressione. Eviden- 

 temente, allora, se uno dei due numeri è pari, Γ altro 

 è necessariamente dispari, perchè altrimenti essi avreb- 

 bero a fattore comune 2, e non sarebbero stati ridotti 

 alla più semplice espressione. Ammesso ciò avremo per 

 il teorema di Pythagoras che 2a^ = 6^ ; 6* 

 quindi è pari. Ma allora anche h è pari, perchè, eviden- 

 temente, un quadrato pari deve avere per fattore il 

 valore 2^ . Possiamo allora porre & == 2 e ; sarà allora 

 ìf = 4c' e 2 a- = 4c^ donde si ricava a^ = 2c^ . a^ dun- 

 que è pari ; ma allora anche a è pari, ciò che è assurdo. 

 L'assurdo non si può togliere se non si ammette che non 

 si possano mai trovare due numeri il rapporto dei quali 

 «sprima quello del cateto del triangolo rettangolo iso- 

 cele all' ipotenusa (16). 



του EZ προς τον άπο του Η. διπλάσοον δέ το άπο της ΓΑ του 

 άτιο της AB • διπλάσιον άρα καΐ ό άπο του ΕΖ του άπο του 

 Η' άρτιος άρα εστίν ό άπο του ΕΖ* ώστε καΐ αυτός ό ΕΖ 

 άρτιος έστιν. ει γαρ ήν περισσός, και ό άπ' αύτοΰ τετράγωνος 

 περισσός ήν, έπειδήπερ, εάν περισσοί αριθμοί όποσοιουν 

 συντεθώσιν, το δέ πλήθος αυτών περισσον % ό βλος πε- 

 ρισσός έστιν ό ΕΖ άρα άρτιος έστιν. τετμήσθω δίχα κατά 

 το Θ. και έπεί οί ΕΖ, Η ελάχιστοι είσι τών τον αυτόν 

 λόγον εχόντων [αύτοϊς], πρώτοι προς αλλήλους είσίν. και 

 ό ΕΖ άρτιος• περισσός άρα έστΙν ό Η. ει γαρ ήν άρτιος, τους 

 ΕΖ, Η δυάς έμέτρι* πάς γαρ άρτιος έχει μέρος ήμισυ" πρώ- 

 τους 6ντας προς αλλήλους• δπερ έστΙν αδύνατον, ούκ άρα 

 άρτιος έστιν ό Η' περισσός άρα. καί έπεί διπλάσιος ό ΕΖ του 

 ΕΘ, τετραπλάσιος άρα ό άπο ΕΖ του άπο ΕΘ. διπλάσιος 

 δε ό άπό του ΕΖ του άπο του Η• διπλάσιος άρα ό άπο του 

 Η του άπο ΕΘ. άρτιος άρα εστίν ό άπο του Η. άρτιος άρα 

 δια τά είρημένα ό Η* άλλα καί περισσός• δπερ εστίν άδύ- 

 Λ/ατον. ούκ άρα σύμμετρος έστιν ή ΓΑ τη AB μήκει• δπερ 

 ϋδει δειξαι. 



(ΐ6) La scoperta che le radici di 3, 5.... 17 erano irra- 



