π. - § 6. Altre radici irra{ionali 271 



Abbiamo detto che la dimostrazione dell' esistenza 

 di grandezze incommensurabili suscitò uno scandalo che 

 per lungo tempo si cercò di tenere nascosto. Il fatto 

 colpiva invero al cuore Γ intiero sistema matematico 

 pythagorico, e tutte le concezioni che su di esso ripo- 

 savano. Essendo infatti le cose, le lunghezze in parti- 

 colare, un insieme di punti, e la loro grandezza misu- 

 rabile contando i punti stessi (punti che portavano un 

 numero ; punti aventi una certa dimensione), ne veniva 



zionali, è attribuita a Theodoros di Κ y r e η e, un pytha- 

 gorico contemporaneo di Sokrates e che fu conosciuto da 

 Platon (vedi § 2, n. 8 dove si parla dei viaggi di Platon). 

 Infatti nel Theaiutos (145-148) Platon ci rammenta que- 

 sta scoperta : ΣΟΚΡ. λέγε δη μο!,* μανθάνεις που παρά 

 Θεοδώρου γεωμετρίας άττα; ΘΕΑΙΤ. εγωγε... περί δυνάμεων 

 τι ήμϊν Θεόδωρος δδε έγραφεν της τε τρίποδος περί καΐ 

 πεντέποδος άποφαίνο^ν 6τι μήκε;. ου σύμμετροι τη ποδιαίίχ 

 (cioè alla data superficie, supposta un quadrato, non si 

 poteva attribuire un numero per la lunghezza del Iato) 

 y.vX ούτω κατά μίαν έκάστην προαιρούμενος μέχρι, της 

 έπτακαι,δεκάποδος.... οσα!, μεν γραμμαΐ τον ίσόπλευρον και 

 έπίπεδον αριθμόν τετραγωνίζουσι, μήκος ώρισάμεθα, οσαι 

 δέ τον ετερομήκη, δυνάμεις, ώς μήκει μέν ού συμμέτρους 

 έκείναις τοις δ' έπιπέδοις ά δύνανται, καί περί τα στερεά 

 άλλο τοιούτον. 



II Loria presuppone che per queste dimostrazioni sia 

 stata seguita la stessa via che per \/'~2• Ecco come egli 

 dimostra in generale una tale proprietà per i detti nu- 

 meri. Sia p uno dei numeri 3, 5.... Supponiamo allora che 

 ]/p=>-^ dove m ed « sono intieri e primi fra di loro. 

 Avremo allora m^=pn^, quindi sarà m^ e necessariamente 

 anche m divisibile per p. Sarà quindi m=\xp ed in conse- 

 guenza m~=]jj-p-=pn" ossia η^ = μ^ρ quindi η è multiplo 

 di p. Ma ciò è assurdo perchè m ed η per ipotesi sono primi 

 fra di loro. Naturalmente, come ho ripetuto più volte, le 

 dimostrazioni degli antichi greci, non erano algebriche, ma 

 seguivano una via geometrica, che, in pratica, riesce assai 

 più lunga e difficile. 



