II. - § 6. Applicazione per eccesso e per difetto 2ηη 



Notiamo che questi due problemi equivalgono a 

 trovare i lati di un rettangolo del quale conosciamo Γ area 

 e la differenza dei lati. Infatti se δ^ è Γ area, λ: ed 3/ sono 

 i lati incogniti {y>x), ed j/ — x^a, avremo che % (%+a)=6*, 

 se prendiamo come incognita il lato minore, ed y {y — a) 

 = δ', se prendiamo come incognita il lato maggiore ; 

 abbiamo cioè i due casi dell' applicazione ο parabola per 

 iperbole e di quella per ellisse. Se poi conosciamo l'area 

 e la somma dei lati {x--y=(ì) allora avremo il caso 

 X {x — a)=^b^ ο y [y — α)=δ^, e quindi ritorniamo al se- 

 condo problema. 



Neil' antichità, presso Eukleides la via seguita per 

 trovare la soluzione è quella espressa algebricamente 

 dal sommare nel primo caso ai due membri dell' equa- 

 zione la quantità (γ)^ e di toglierla nel secondo. Si ha 

 allora 



I. 



II 



x-a^\/(^y- 



b' 



donde si ricava subito x, ed in un sol modo, dovendo χ 

 essere sempre positivo. Noi troviamo dunque il pro- 

 blema risolto nel modo seguente (20). 



Data la retta AB=a, dove C è il punto di mezzo 



(20) I problemi di secondo grado si trovano già intro- 

 dotti in Eukleides nel secondo libro degli Elementi. In 

 particolare le figure che ora riportiamo (12 e 13) si rilevano 

 dalle proposizioni 5 e 6: 



ε'. Έάν εύθεϊα γραμμή τμηθη εΙς ίσα καΐ άνισα, το 

 ύ-ο των άνισων της δλης τμημάτων περιεχόμενον όρθο- 

 γώνιον μετά του άπο της μεταξύ των τομών τετραγώνου 

 Κσον έστΙ τω άπό της ημισείας τετραγώνω. 



ζ'. 'Εάν ευθεία γραμμή τμηθη δίχα, προστεθή δε τις 

 αύτη εύθεϊα έπ' ευθείας, το ύπο της όλης σύν τη προσ- 



