[10.17] LIEUX PLANS D'APOLLONIUS. 15 



LBE, et soit |^ dans le rapport donné. Menez FEDC perpendiculaire 

 à BE, et prenez sur l'arc de cercle un point quelconque K, duque" 



vous m 



ènerez, par A et B, les droites KAH, KBD rencontrant en H 

 et D les droites IH, F(l Je dis que v^^ est dans le rapport donné ^• 



Fiï. 10. 



Car, s'il en est ainsi, les triangles AGH, BED seront semblables : 

 donc les angles GAH, EBD seront égaux, ainsi que leurs opposés par 

 le sommet KAL, KBL. Mais cette dernière égalité a lieu, puisque ces 

 angles sont inscrits dans le même segment, et il est facile de remonter 

 de l'analyse à la synthèse. 



Si donc, par deux points A, B, on mène deux droites AH, BD, sous 

 l'angle donné HKD < et ayant entre elles un rapport donné >, si 

 l'extrémité de AH est sur la droite IH donnée de position, l'extrémité 

 de BD sera sur la droite FC, donnée aussi de position, d'après la con- 

 struction. 



Soient maintenant donnés les points A, B (Jig- i4). ''t de position 

 le cercle HF; sur AB décrivez le segment de cercle AKB capable de 

 l'angle donné. Soit G le centre du cercle HF; joignez AHG, prolongez- 

 la jusqu'à sa rencontre en K avec l'arc do cercle, menez KBE, et soit 



4 ir op 



TTp dans le rapport donné. Prolongez BE jusqu'en D, en sorte que .- 

 soit aussi dans le rapport donné. Le cercle décrit de D comme centre 

 sera donné de position et donnera la solution de la question. 



Si en effet on mène lAF, IB(-, les angles en A et B seront égaux, et 



\F 



le reste de la démonstration est facile; on voit aussitôt que '^ est dans 



