■1\ ŒUVRES DE FERMAT. [25,261 



ilo l'o point dos droites sur AB, BC, les menées soient dans le rapport 

 donné. Celte droite est donnée de position, donc le point où elle ren- 

 fon4re AC. soitE. Si l'on mène de ce point EV, ED, parallèles à MO et 



VF 

 .MR. d'après la construction, ^ sera dans le rapport donné. Prenant 



ensuite les droites AC et AB, par le niénic procédé, on trouvera un 

 point K. tel que les droites KL, KZ, issues de ce point et sous les 

 angles donnés, c'est-à-dire parallèles à MR, MI, soient dans le rapport 



donné. On aura donc aussi ^ dans le rapport donné. Si l'on jointEK, 



nn point quelconque pris sur cette droite satisfera à la question. 



Soit pris M par exemple, pour profiter de la construction déjà faite; 

 menez MF parallèle à BA, et MH parallèle à BC. Il faut prouver que 



OM + MI VE , , , ,. , , , 



— jTji^ — ~ Fo' '^' ''^t''i"d""c 'c rapport donne. 



Menons encore KG parallèle à BA et supposons vrai ce que nous 



, ^, . . . MR MI + MO ,. ., , 



voulons prouver. iNous aurons vicissim ^^77 = — frrT — ; divitlendo : 



Ji.U tv 



MR-DE MI-+-MO-EV ,. . ,.„ ,, . in n* 



— jjg — = py Mais mv étant parallèle a BA, on a 



EF = MR - DE; MH étanl parallèle à BC, EH = EV - MO. Donc 

 IM - EH = MO + MI - VE. 



D . , EF IM-EH . . . EF ED 



Par conséquent, rrr-, = — ^^, — , vicissim : ^n^ — =rYï = ?rr> comer- 

 ^ DE EV IM — EH EV 



, , IM-EH EV , ^ , 



icndo : — =rp — ~ pï)' '^ rapport donne. 



Mais par construction, si nous prenons les trois droites EH, EF, IM, 



VE KE , ,, • j I . , KZ KE , 



nn a jrn •= ïtvï' et 1 on a aussi dans le même rapport ^rr = ï^niï' et 

 EH EM ' i MI EM 



r" F KF 



encore, puisque KG est parallèle à BA, r^ =^ t^^- 

 ' ^ ^ Et EM 



Par conséquent, les trois droites VE, KZ, EG sont proportionnelles 



un nïT nr- I KZ — EV MI — EH .. . 



aux trois HE, MI, EF; donc — ^^rj^ — = — jrr; Mais nous avons 



MI -EH EV , . , , _ KZ-EV EV , 



prouve que — ^p — = p^rr) le rapport donne. Donc — p^ — ~ fd 



, , , , . . . KZ-EV Efî , KZ GD 



rapport donne, et vicissim : — =ry^ — = prp. ; componenao •' Fv = pn" 



